Почему мы получаем преимущественный распад частиц при электрон-мюонном рассеянии

Причина разного поведения дифференциальных сечений заключается в том, что

• эти два процесса идут по разным кинематическим каналам
• посредник в этих процессах (которым является фотон) безмассовый

В общем, любое поперечное сечение имеет пики, когда квадрат импульса, «переносимого» посредником взаимодействия, близок к массе посредника (и, таким образом, посредник становится «находящимся на оболочке»). В этом суть ответа, так как для первого процесса посредник, которым является фотон, может находиться на оболочке, а для второго процесса он не может быть на оболочке.

Давайте поговорим именно об этом.

Процесс рассеивания$\mu e \to \mu e$кинематически проходит через$t$-канал, а процесс аннигиляции$e\bar{e} \to \gamma \gamma$проходит через$s$-канал. Поэтому, помечая влетающие частицы импульсами$k_{i}$и исходящие по$p_{i}$(электрон имеет метку$1$), получаем, что электрон-мюонное рассеяние содержит фотонный пропагатор с

$$D_{\mu\nu} \sim \frac{g_{\mu\nu}}{(p_{1}-k_{1})^{2}},$$ в то время как электрон-позитронная аннигиляция содержит аннигиляцию с $$D_{\mu\nu} \sim \frac{g_{\mu\nu}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}$$ Первый содержит особенность в пределе $p_{1} \to k_{1}$, что приводит к указанной особенности. Это известный результат в КЭД. Он появляется в t-канале из-за безмассовости фотона. Чтобы продемонстрировать, что эти факторы - безмассовость фотона и кинематический канал - являются истинными причинами указанного поведения, заметим, что для случая ненулевой массы фотона мы получим знаменатель $$((p_{1}-k_{1})^{2}-m^{2}) = -(|(p_{1}-k_{1})|^{2}+m^{2}),$$ так как всегда есть $(p_{1}-k_{1})^{2} < 0$, поэтому сингулярность будет снята.

Вместо этого для диаграммы уничтожения знаменатель теперь изменен на

$$(p_{1}+k_{1})^{2} \to (p_{1}+k_{1})^{2} - m^{2}$$ Следовательно, для $(p_{1}+k_{1})^{2} = m^{2}$поперечное сечение становится сингулярным, по крайней мере, на первый взгляд. Заметим, однако, что это не так, поскольку на самом деле знаменатель содержит также $i\Gamma m$кусок, где $\Gamma$ширина распада нашего "игрушечного" массивного фотона...