Пара теорий здесь:

• Насколько уверены, что ваши источники питания подходят симметрично?
  Если одна шина появляется раньше другой, у вас может быть ненулевое выходное напряжение операционного усилителя в течение очень короткого периода времени.
• Вы внедрили все методы компоновки печатных плат, необходимые для таких высоких импедансов? Как минимум, вам понадобятся защитные кольца на всех узлах со сверхвысоким сопротивлением. В техническом описании LMC6082
  National (теперь TI) есть хорошее обсуждение того, что требуется для того, чтобы токи утечки платы были достаточно низкими, чтобы не быть проблемой.

Это, скорее всего, не решит проблему с диэлектрической проницаемостью, как обсуждалось в ответе @RocketSurgeon.
Хорошим и простым способом проверить его ответ было бы отпаять одну из крышек на плохой плате и перевернуть ее. Если смещение перевернуто в другом направлении, это проблема диэлектрической пропитки (поскольку постоянный заряд в крышке будет иметь одну полярность). Если напряжение смещения не меняется, проблема не в конденсаторе.

Одна вещь, которую я не вижу в объяснении проблемы проникновения диэлектрика, заключается в том, почему заряд, кажется, возвращается, когда цепь обесточена, и уходит, когда на нее подается питание. Поскольку элемент, который разряжает конденсатор, непрерывно подключен к цоколю (например, C1||R2, C2||R1), вклад любого тока, вытекающего из цоколя, должен быть постоянным и не зависеть от напряжения питания.

Единственное, что мне приходит в голову, так это то, что где-то есть что-то гигроскопичное, и оно впрыскивает ток смещения. Когда вы включаете плату, она нагревается и со временем вытесняет влагу. Выключите доску, и она начнет впитывать влагу.

У меня есть один комментарий: я не понимаю, почему у вас есть и SW1A, и SW1B. Вы можете полностью избавиться от SW1B. Просто соедините обе пары R/C вместе и с выходом операционного усилителя. Когда выбран один из наборов конденсаторов/резисторов, другой будет просто медленно разряжаться. Пока один конец плавающий (что достигается переключателем SW1A), напряжение на другом конце не имеет значения.

Теория 1. Замачивание. Это эффект диэлектрического поглощения. АКА замачивание . Источником энергии является заряд конденсаторов, поступающий от испытательной установки производителя конденсаторов. Пленочные конденсаторы были испытаны высоким напряжением в течение нескольких минут на заводе, затем разряжены и хранились с разомкнутыми выводами.

В течение нескольких месяцев остаточная поглощенная энергия (не обязательно заряд, но может быть и механического старения/высыхания/осаждения) дрейфует изнутри диэлектрических слоев к пластинам. Скорость может быть очень низкой, скажем, постоянная времени полипропилена умножается на тысячу (несколько лет для полной разрядки).

Этот эффект мало изучен. Это влияет только на экстремальные схемы, такие как ваша, с пластиковыми колпачками и операционными усилителями TeraOhm. Лучший отчет об эффекте сделан Бобом Пизом из Nat Semi , когда он работал с тефлоном и токами pA.

Лекарством от этого может быть временное воздействие на обесточенную цепь источника гамма-излучения умеренной интенсивности в течение нескольких часов, чтобы рассеять все поглощенные заряды без физического контакта с деталями.

Другой метод — покупка «старых» конденсаторов, которые хранились на несколько месяцев дольше. Сравните даты крышек из хорошей и плохой партии. Бьюсь об заклад, старая партия конденсаторов лучше.

Или при заказе шапок просите те, которые летом хранились ближе к открытому окну. Либо положить собранные обесточенные платы на сухой токопроводящий антистатический коврик и прогреть до 150С в течение часа (если чистота pA-цепи не запрещает подобные манипуляции).

Теория 2. Индуцированный ток термопары. Ток термосвязи может быть вызван разницей температур на стыке двух разных металлов. Чтобы определить, так ли это, погрузите плату в ванну с перемешиваемым маслом и сравните характеристики с платой на открытом воздухе.