Почему предметы кажутся меньше, если смотреть на них с большого расстояния? [дубликат]

Все дело в углах, образуемых объектом, когда свет от него попадает в глаз.

Рассмотрим этот грубый рисунок глаза, смотрящего на два дерева одинакового размера. Свет, попадающий в глаз от ближнего дерева, образует более широкий угол в глазу, а дальнее дерево образует более острый угол. Мозг интерпретирует это как то, что дальнее дерево кажется меньшим.

Попробуйте это: Выйдите на улицу в полнолуние. Возьмите четвертак (или монету эквивалентного размера, если вы не в США) и держите ее на расстоянии вытянутой руки. Переместите четвертак над луной. Четверть почти закрывает луну? Вы также можете использовать более мелкие монеты и держать их ближе.

Выше еще один сырой дудл, а вот и фото. Монета и луна кажутся одинакового размера, потому что углы, образуемые ими перед глазом, равны.

Это потому, что свет распространяется более или менее прямыми лучами.

Предположим для простоты, что ваш глаз похож на камеру-обскуру; у него есть отверстие спереди и экран сзади. Затем световые лучи, проходящие через точечное отверстие, формируют изображение.

(из https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pinhole-camera.png )

Рассмотрим две точки на объекте, например верхушку и низ дерева. Если вы переместите объект дальше, две точки останутся на том же расстоянии друг от друга, но будут дальше от отверстия, и, следовательно, угол, который он образует с отверстием, будет меньше. Но экран все равно находится на таком же расстоянии от пинхола, а значит и изображение меньше. (См. также соответствующую статью BBC .)

Что касается вашего вопроса о точке схода, то вообще непонятно, о чем вы спрашиваете. В перспективном рисовании мы имеем проекцию сцены на плоский экран через начало координат (глаз). Под проекцией рассмотрим все прямые, не проходящие через начало координат. Каждый из них отображается в линию, а любые два из них, которые пересекаются, отображаются в пересекающиеся линии. Если мы оговорим, что любые две из них, которые параллельны, на самом деле пересекаются в бесконечно удаленной точке, то это даже лучше, потому что тогда любые две прямые пересекаются в единственной точке. Кроме того, все параллельные линии на горизонтальной поверхности будут пересекаться в одной и той же точке на бесконечности, которая после проецирования отображается в точку на экране, через которую проходят изображения всех этих параллельных линий.

Бесконечно удаленных точек в евклидовой модели мира не существует, как не пересекаются параллельные прямые. Просто если мы концептуально добавим их к евклидовой модели, мы получим проективное пространство, обладающее хорошими свойствами, включая осмысленное понятие горизонта как образа некоторой линии точек на бесконечности. Это позволяет нам рисовать перспективные рисунки, то есть рисовать изображение на экране с учетом того, что мы знаем о линиях сцены.

Поверхность Земли не плоская, а слегка изогнутая, поэтому мы не можем видеть всю поверхность Земли, а видим слегка изогнутый горизонт. Это не имеет ничего общего с линией в бесконечности на перспективных рисунках, поскольку эта линия все еще существует, просто не относящаяся к горизонту, который мы видим между поверхностью земли и небом. Если это то, откуда вы получили свои «2,9 мили», то это просто то, как далеко на поверхности земли вы можете видеть, что, конечно же, не связано с тем фактом, что вы можете видеть до звезд.

(из https://en.wikipedia.org/wiki/Horizon#/media/File:Horizons.svg )

На приведенной выше диаграмме астрономический горизонт соответствует линии в бесконечности, если бы вы стояли на действительно плоской поверхности. Истинный горизонт — это то, что вы воспринимаете как границу между небом и океаном, поскольку Земля не плоская. Видимый горизонт — это то, что вы воспринимаете как границу между небом и землей, поскольку обычно есть много вещей, таких как деревья на земле, которые блокируют вид на реальную поверхность земли.

Короче говоря, перспективные рисунки не подходят для предметов, которые находятся слишком далеко от поверхности Земли, потому что они предполагают идеально плоскую поверхность земли.

Угол — это всего лишь мера отношения между длиной дуги сегмента окружности и радиусом указанной окружности. Предмет (скажем, карандаш) длины$30~\text{cm}$всегда будет такой длины, но расстояние от карандаша до глаза может измениться.

Определение угла - это длина дуги,$s$, по радиусу,$r$

Несмотря на то, что размер карандаша не меняется, радиус увеличивается по мере того, как вы отводите его от глаза, поэтому знаменатель увеличивается, а числитель остается прежним, поэтому дробь дает меньшее значение (т. е. меньший угол). Мозг воспринимает вещи под углом, под которым исходит свет (как вы знаете и указывали другие). Это связано с тем, что мозг оценивает размеры по проценту поля зрения, который занимает объект. То есть, насколько велик его угол по сравнению со всем углом, который мы видим (прим.$180º$, так как мы можем видеть почти все перед собой).

Как вы говорите, нет предела действительной досягаемости зрения, но есть предел тому углу, под которым свет попадает в наши глаза. Пылинка может быть буквально на расстоянии 1 см от вашего глаза, но поскольку ее длина настолько мала, угол остается малым, поэтому свет, исходящий сверху и снизу частицы, неотличим друг от друга. С другой стороны, Луна, несмотря на то, что находится в тысячах километров, также имеет ширину в сотни километров.

Этим двум примерам можно присвоить значения:

Пылинка длиной$2.5~\mu\text{m} = 2.5 \cdot 10^{-6}~\text{m}$(посмотрел этот размер в гугле). Итак, если частица$1~\text{cm} = 10^{-2}~\text{m}$от вашего глаза, угол, под которым пути света идут сверху и снизу от него, образуют угол$\frac{s}{r} = \frac{2.5 \cdot 10^{-6}}{10^{-2}} = 2.5 \cdot 10^{-4}~\text{rad}$. Это, проще говоря, меньше разрешения наших глаз.

Принимая во внимание, что для примера с Луной:

Расстояние от Луны до Земли$384 000~\text{km}$, мы скажем$3.8 \cdot 10^{8}~\text{m}$упростить. Диаметр Луны$3,474~\text{km}$, так$3.5 \cdot 10^{6}~\text{m}$опять же для упрощения. Здесь угол примерно$0.01~\text{rad}$, что примерно$0.5~\text{degrees}$. Поскольку вся наша перспектива почти$180º$, речь идет о$0.2\%$нашего поля зрения, маленькое, но тем не менее значительное.

Надеюсь это поможет!

TLDR

Найдите пространство Евклида и Минковского.

Перспектива и форма пространства

Геометрическая перспектива работает, потому что нам довелось жить в почти евклидовом трехмерном пространстве. В таком пространстве по определению действуют знакомые правила трехмерной геометрии, а перспектива вытекает из правил геометрии.

Мы можем вообразить и описать другие пространства, в которых «знакомые правила геометрии» неприменимы, и в этих пространствах не будут работать наши правила перспективы.

В настоящее время лучшим математическим описанием пространства, в котором мы живем, является пространство Минковского согласно специальной теории относительности. Пространство Минковского искривлено от евклидова пространства плотностью массы и энергии. Но здесь пространство Минковского почти евклидово. Гравитационное линзирование является характеристикой специальной теории относительности, где обычная перспектива неприменима.

Точки схода на вашем рисунке

Я думаю, что проще всего думать о точке схода как о точке на вашей поверхности рисования , где сходятся 2D-проекции набора параллельных (3D) линий в сцене. Параллельные линии в евклидовом 2D- и 3D-пространстве не сходятся, но спроецированные линии на плоскость вашего чертежа будут исходить из точки на этой плоскости.

Следовательно, положение любой точки схода на вашем рисунке полностью зависит от: вашей точки зрения, направления центра вашей сцены, поля зрения и направления «вверх» на вашем изображении.

Например, если вы смотрите немного вниз, как на пруд с лилиями, то точка схода горизонта на вашем снимке будет выше центра вашего снимка. Если вы смотрите немного вверх, то все наоборот.

Точки в бесконечности

Когда мы проецируем пару параллельных линий на воображаемую сферу в бесконечности, линии будут пересекаться со сферой в различных точках . Если спроецировать эти точки на плоскость чертежа с вашей точки зрения, спроецированные точки будут иметь фактически нулевое разделение. Это потому, что, хотя что-то, деленное на бесконечность, не определено, здесь мы можем считать его неотличимым от нуля.

Оптические эффекты

Правила перспективы применяют истинные линии от сцены через плоскость чертежа к вашей точке зрения. Но свет распространяется только по прямой линии в однородной среде. Вот почему работают линзы: скорость света в стекле меньше, чем в воздухе. Вот почему мы можем получить тепловые искажения и миражи в воздухе. Мы могли бы возразить, что в этих условиях пространство кажется неевклидовым, но это происходит из-за того, что луч света не является прямым.

Да, про эти ракурсы (свет падает на глаза и т.д.). Почему угол должен сужаться по мере увеличения расстояния? Ну, во-первых, именно так наш мозг интерпретирует сигнал, который он получает от глаза. Осмелюсь предположить, что если бы было наоборот (т.е. если бы угол становился шире по мере увеличения расстояния), наш мозг нашел бы способ приспособиться, и мы бы все сказали: «Он больше, потому что он дальше, вот как это работает». ").

Я думаю, что вы получили это немного назад. Тот факт, что угол становится уже, когда объект удаляется дальше, является следствием ГЕОМЕТРИИ, в которой мы живем. Мы живем в геометрическом пространстве, где углы уменьшаются, когда объекты удаляются друг от друга. Это и то, что можно доказать с помощью постулатов евклидовой геометрии, и экспериментальный факт.

Теперь, почему наш мозг интерпретирует малые углы как далекие? Потому что мы эволюционировали так, чтобы наши чувства были ПОЛЕЗНЫМИ. Все грызуны, которые считали, что большие львы находятся далеко, мертвы. Существует сильное эволюционное давление, заставляющее наш мозг интерпретировать наши чувства, чтобы отражать реальность.

Как вы сказали, если бы мы жили в геометрическом пространстве, где углы увеличиваются, когда объекты находятся дальше, наш мозг эволюционировал бы, чтобы правильно интерпретировать расстояние. Но мы НЕ живем в таком пространстве; мы живем в евклидовом пространстве. Вы можете сказать, потому что в нашем пространстве параллельные линии не пересекаются, а углы треугольников в сумме составляют 180 градусов. Одним из математических следствий этого является то, что предметы, находящиеся дальше, кажутся меньше.

Я думаю, что это сводится к следующему: потому что так работает математика.

Так работает перспективная проекция . И это происходит потому, что вы можете аппроксимировать камеру (или свой глаз) как единую точку.

Я чувствую, что последнее «почему», чтобы принять один из других ответов, заключается в следующем: я действительно работаю таким образом, потому что мы представляем, что фокус проекции находится за плоскостью проекции.

Так что, возможно, это прояснит для вас ситуацию, если мы сделаем наоборот.

Представьте, что ваша сетчатка — это огромный холст. Вы смотрите на вещи через окно значительно меньшего размера (плоскость проекции - или линзу в следующем макете).

Тогда действительно более близкий (оранжевый) объект будет казаться меньше, чем дальний (фиолетовый). Но проще говоря: глаз работает не так! На самом деле последствия такой системы довольно трудно себе представить.

Забавный и очевидный факт: на самом деле этот фокус действительно находится перед плоскостью проекции. С вашими глазами, а также камеры. Однако он находится внутри всей аппаратуры, и поэтому свет оттуда не излучается, и мы можем игнорировать это пространство для наших целей. Таким образом, достаточно приближения в виде точки.

В какой-то степени верно следующее: объекты внутри вашего глаза кажутся больше, чем дальше они находятся от сетчатки.

Это связано с тем, как устроены наши глаза.

В наших глазах есть хрусталик, отверстие и сетчатка. Они принимают свет, направляющийся к нам, и проецируют «изображение» в одном наборе направлений на нашу сетчатку. Затем сетчатка делит объекты по углам и отправляет информацию в наш мозг. Затем наш мозг интерпретирует это как то, что мы видим.

Приличное приближение к тому, как работает отверстие в нашем глазу и хрусталик, состоит в том, чтобы рассматривать зрачок как точку, которая позволяет свету проходить только «прямо через него» и проецироваться на сетчатку позади него.

Возьмите эту схему:

A                 B                #
A                 B             *  #
A                 B                #

Это *ученик. S — #сетчатка. As и s — Bэто два объекта, которые находятся ближе/дальше.

С помощью прямого края (карандаша или листа бумаги) проведите линию от вершины Bбукв через центр зрачка *к сетчатке #. Проделайте то же самое с нижней частью. Это изображение, которое Bпроецируется на нашу сетчатку.

Сравните это с высотой Aпроекции s на сетчатку. Чем ближе проецируется более крупное изображение .

Теперь сетчатка/зрачок тоже могут двигаться. И у него центр зрения "высокого разрешения". Удерживая зрачок неподвижным, представьте, что сетчатка вращается вокруг него до тех пор, пока центр зрения не окажется в верхней/нижней части каждой из Aбукв s и Bs.

Aимеет более широкий угол, чем Bделает.

Эти два эффекта — проецирование на большую площадь сетчатки и необходимость в большем вращении глаза для перехода из одной стороны в другую — вот что означает выражение «выглядит больше».

Это происходит потому, что оптика небольшого отверстия с линзой в основном отбрасывает свет, который не проходит «прямо» через отверстие.

Свет подобен бассейну, полному детей, с волнами повсюду. Наш глаз — это маленькое устройство, плавающее в углу. Это коробка с дыркой в ​​одной стороне. Внутри коробки куча поплавков. Используя положение поплавков, вызванное движением волн, он создает изображение того, где находятся все в бассейне и что они делают, если существует прямая линия от устройства до объекта, создающего волны. Это до смешного удивительное устройство, но изображение, которое мы видим, является лишь интерпретацией (полезной!) того, что делают волны (свет).

То, как это происходит с помощью пинхола + линзы (позволяют свету проходить «прямо насквозь»), является проблемой оптики и / или квантовой механики, в зависимости от того, насколько глубоко вы хотите пойти, и выходит за рамки вашей проблемы.

Следующий вопрос — горизонт. Горизонт, который мы видим, вызван двумя причинами: объекты удаляются (и, следовательно, становятся меньше) и Земля мешает.

В бесконечно плоском мире то, что вы увидите довольно близко к точке схода художников. Все вещи «на земле» будут становиться все короче и короче по мере удаления, пропорционально тому, как далеко они находятся. Параллельные линии также становятся все ближе и ближе друг к другу. Они никогда не достигнут 0 высоты или ширины — вместо этого они будут описывать немного более сложную кривую, где параллельные линии в 2 раза дальше друг от друга составляют 1/2 расстояния друг от друга. Однако, если они продолжаются вечно, прямые линии являются достойным приближением. Но и расстояние между «вехами расстояний» тоже сократится.

Однако на Земле мы обычно находимся на высоте всего 2 метра над поверхностью. И поверхность изгибается.

Увидеть что-то высотой 0 метров (т. е. реальную поверхность Земли) можно на расстоянии около 5 км. В этот момент сама Земля мешает вам увидеть саму Землю.

Более высокие вещи действительно будут видны дальше. Бесконечно высокий объект, торчащий прямо из Земли, был бы полностью за горизонтом только в том случае, если бы он находился на противоположной стороне Земли.

Для достаточно коротких объектов (например, зданий или гор) вы можете видеть предметы примерно на 5+.$3.6 \sqrt{h}$км, где$h$находится в метрах над землей (при условии, что вы ростом с человека). Источник .

В более общем смысле,$3.6 \sqrt{h_0}$+$3.6 \sqrt{h_1}$, куда$h_0$а также$h_1$являются высотами двух объектов, насколько далеко вы можете видеть что-то над горизонтом.

Ни один из этих эффектов не требует для работы «кривизны пространства».

Что значит сделать рисунок, точный с точки зрения перспективы, такой как изображение в вашем вопросе? Двухмерный лист бумаги явно отличается от трехмерной сцены, поэтому мы не можем просто сказать «они одинаковые».

Если я могу позаимствовать изображение у кобальтовой утки:

Перспективный рисунок выполняется таким образом, что если вы держите лист бумаги перед глазами, линии и края, нарисованные на рисунке, приближаются к вашему глазу в том же направлении, что и фактические края в 3D-сцене.

Предположим, что на изображении кобальтовых уточек 25-центовая монета — это наша бумага, на которой мы рисуем, а луна справа — реальный объект. В реальном мире фотоны с Луны излучаются во всех направлениях, некоторые из которых направляются к вашему глазу. Чтобы сделать перспективный рисунок луны, нужно заставить бумагу излучать фотоны на одних и тех же лучах зрения. (Я намеренно игнорирую тот факт, что мы обычно рисуем края черной ручкой... вместо этого представьте, что это светящиеся неоновые края!)

Итак, если я хочу изобразить точку в трехмерном пространстве на моем двухмерном листе бумаги, где мне ее разместить? Я должен провести линию между точкой в ​​трехмерном пространстве и глазом. Везде, где эта точка пересекает бумагу, она является правильной точкой представления на бумаге.

Это процесс отображения, и ключевой вывод заключается в том, что он зависит только от направления вектора от точки в трехмерном пространстве к глазу. Фактическое расстояние не имеет значения (на самом деле есть некоторые эффекты, из-за которых объекты на расстоянии кажутся тусклыми, но это совершенно не связано с вопросом, который вы задаете).

Давайте теперь рассмотрим объект с некоторой степенью. Как выглядит луна в проекции на бумагу? Давайте рассмотрим только самую верхнюю и самую нижнюю точки Луны, которые соответствуют двум красным линиям на диаграмме. Это направления, в которых фотоны движутся к глазу. Чтобы правильно представить эти две точки на бумаге, мы просто смотрим, где эти два вектора пересекают бумагу. Благодаря удачному выбору чешуи на изображении кобальтовой утки мы видим, что верх и низ 25-центовой монеты выстраиваются точно вдоль этих красных линий.

Теперь давайте рассмотрим длину строк, потому что именно отсюда исходит ваш вопрос о «меньшем». Мы можем провести линию между верхом и низом луны, образуя треугольник с двумя лучами, идущими к глазу. Точно так же мы можем провести линию сверху вниз на 25-центовой монете, образуя треугольник с двумя лучами, идущими к глазу. Поскольку кусок в 25 центов (изображение луны на бумаге) имеет общие края треугольника с большим треугольником от луны, мы можем использовать сторону-угол-сторону из геометрии, чтобы показать, что два треугольника должны быть похожи. Эти подобные треугольники и есть то «почему», которое вы ищете.

Рассмотрим соотношение между расстоянием до бумаги и расстоянием до предмета. Две линии, которые мы провели сверху вниз, также должны иметь это соотношение. Если для рисования в перспективе мы предполагаем, что бумага находится на некотором фиксированном расстоянии, это приводит к окончательному соотношению: если объект находится дальше, его следует рисовать меньше, потому что отношение расстояний между глазом и бумагой и глаз к объекту больше, что означает, что соотношение между размером объекта и размером на бумаге также должно быть больше на такое же соотношение. Если бы мы рассмотрели перемещение объекта вперед и назад, мы бы увидели, что, когда он ближе, его перспективное изображение должно быть больше, чтобы сохранить эти отношения, а когда он дальше, его перспективное представление должно быть меньше.

Рассмотрим вид с двумя глазами, расположенными на линии, параллельной земле. Они оценивали расстояние по воспринимаемому углу, используемому глазами, чтобы сфокусироваться на объекте. В крайнем случае, вы становитесь косоглазым, глядя на вещи очень близко к своему лицу.

Они могут оценить угол между глазами как оценку расстояния. Хищники, которые воспринимаются как находящиеся под максимальным углом, считаются удаленными и безопасными. Хищников, быстро уменьшающих угол, необходимый для того, чтобы их увидеть, следует рассматривать как быстро приближающихся, побуждая наш образец удирать прочь.

Поскольку вы хотите создать иллюзию расстояния, вы создаете плавно меняющийся рисунок в масштабе, где удаленные объекты маленькие, сбитые вместе и имеющие одинаковый угол, который имитирует ощущение удаленного объекта. Хотя зрителю не нужно косить глазами, чтобы увидеть близкий объект, ему напоминают об ощущении, когда он видит близкий объект, потому что ему нужно перемещать взгляд, чтобы охватить все детали «близкого» объекта.

Теперь одноглазый человек должен судить о расстоянии только по размеру. Вот почему он удивляется, когда лев вырастает таким большим, что его последней мыслью является: «Боже, посмотри, какие большие у него зубы...»