Почему принято, что Гёдель использует самореферентное утверждение в своих теоремах о неполноте?

(Я читал о теоремах Гёделя о неполноте только из вторых рук, поэтому я надеюсь, что ничего не упустил, делая то, что могло бы легко прояснить мои вопросы.)

Первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что любая непротиворечивая математическая система неполна.

Но все доказательство, по-видимому, зависит исключительно от использования самореферентного утверждения. г где

г "=" «G не может быть доказано».

(Надеюсь, это правильно/хорошо так выразиться)

Однако интуитивно кажется, что это утверждение бессмысленно.

1. Но тогда почему ему позволено использовать бессмысленное утверждение в качестве доказательства?

Чтобы хотя бы немного объяснить, почему я считаю это бессмысленным (если у кого-то не должно быть достаточно сильной интуиции):

А. Если мы посмотрим на это как на определение г , то нет смысла использовать г себя в его определении.

Эта интуиция может быть отчасти такой же, как B.ii., но также г не добавляет ничего нового в г . Самореферентный аспект, по-видимому, г несущественный.

Так, г кажется, без "реального содержания".

Б. Пусть г 1 "=" г 2 не может быть доказано».

я. Если г 1 и г 2 различны, приняты за одно и то же, это не имеет смысла (напоминает двусмысленность).

II. Если г 1 "=" г 2 ( "=" г ) , то получаем бесконечный регресс.

Заменять г 1 для г 2 , так как это одно и то же, и мы получаем "" г 2 не может быть доказано" не может быть доказано""= г 1 . И делаем это снова, и мы получаем " г 2 не может быть доказано" не может быть доказано" не может быть доказано" = г 1 . И так бесконечно.

Другими словами: " г не может быть доказано» можно бесконечно заменять г в " г не может быть доказано».

И, может быть, одного бесконечного регресса (как следствие) недостаточно, чтобы сказать о чем-то, что не имеет никакого смысла или должно быть отброшено (у нас есть трилемма Мюнхгаузена), но поскольку г интуитивно также кажется бессмысленным (см. А.), может быть, недостаточно отбросить его (/самореферентные высказывания)?

  1. Кроме того, если мы не используем г (или самореферентные утверждения в целом?), у нас не было бы доказательств ни для одной из теорем Гёделя о неполноте, верно ли это? Или: если отбросить г , то есть ли еще возможность иметь непротиворечивые, полные и разрешимые системы?

Кто-то сказал, что есть и другие доказательства этого с помощью диагонализации. Но если это так (поскольку у меня тоже есть интуитивные проблемы с аргументами диагонализации, хотя и несколько меньше), то кроме этих их нет?

«Первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что любая непротиворечивая математическая система неполна». Нет, это не так. Если вы пытаетесь понять, что происходит здесь или в математике в целом, стоит быть осторожным и правильно излагать вещи.
«Но все доказательство, по-видимому, зависит исключительно от использования самореферентного утверждения G, где G = «G не может быть доказано». Нет, вы совершенно упустили смысл конструкции.
Как я уже сказал, я читал об этом только из вторых рук. Я не собираюсь читать всю диссертацию Гёделя (на данный момент). Итак, было бы здорово, если бы вы ответили чем-то полезным, вместо того, чтобы просто сказать, что я совершенно неправильно вас понял.
Читать из вторых рук — это хорошо, но читайте что-нибудь хорошее, не упрощенное и не упрощенное до бессмыслицы (и читайте внимательно).
Теорема утверждает, что любая достаточно сильная непротиворечивая математическая система неполна. Система должна быть достаточно сильной, чтобы выполнять арифметические действия; есть более слабые системы, полные и непротиворечивые.
Не путайте доказуемость с истиной.
Что касается конструкции: почему я не могу тогда просто сказать, что числа Гёделя не могут использоваться для представления самореферентных утверждений?
Нет ничего плохого в рекурсивных определениях, если вы делаете это правильно. Например, Т 0 "=" 0 является треугольным числом и Т н + 1 "=" Т н + н + 1 для целого числа н ≥ 0 .
Я не говорю о рекурсивных определениях. И нет, я не путал доказуемость с истиной.

Ответы (1)

Стандартное предложение Гёделя г (для данной теории Т ) НЕ идентично предложению " г не может быть доказано) (в Т )».

Но г построено так, что оно истинно тогда и только тогда, когда г не может быть доказано в Т .

Быть материально эквивалентным и быть идентичным — не одно и то же. Разница здесь принципиальна.

Вам не нужно читать самого Гёделя, чтобы понять это. Там много хороших экспозиций. Например, вы можете попробовать первые три короткие главы моей книги «Гёдель без (слишком много) слез» , которую можно загрузить с https://www.logicmatters.net/igt.

Ну, если так выразиться, я понятия не имею, в чем должна быть разница между материальной эквивалентностью и тождеством. Но я думаю, что я попытаюсь прочитать на нем.
Почему принято, что Гёдель использует самореферентное утверждение в своих теоремах о неполноте?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v