Что здесь пытается объяснить автор?

Всюду я буду предполагать, что$\mathsf{PA}$согласуется.

Ре: (1):

«Теория самоостановки» — это всего лишь немного красочного языка. « Неуверенность в себе » была бы, на мой взгляд, более уместна (или, может быть, «остановка» — это опечатка для «ненависти»?). В любом случае, не стоит заострять на этом внимание.

Настоящий вопрос, почему$\mathsf{PA+\neg Con(PA)}$согласуется. Это прекрасное следствие второй теоремы о неполноте:

• Если$\mathsf{PA+\neg Con(PA)}\vdash\perp$, теорема дедукции даст нам$\mathsf{PA}\vdash \neg \mathsf{Con(PA)}\rightarrow\perp$или эквивалентно

  $$\mathsf{PA}\vdash\neg (\neg \mathsf{Con(PA))}.$$

• Но это просто забавный способ сказать "$\mathsf{PA}\vdash \mathsf{Con(PA)}$." И мы знаем , что это не может произойти, по Гёделю, если только$\mathsf{PA}$непоследовательно.

Перефразируй, "$T$не доказывает$A$"всегда эквивалентно"$T+\neg A$является последовательным." Здесь мы используем$T=\mathsf{PA}$и$A=\mathsf{Con(PA)}$.

Ре: (2):

Дело в том, что теорема о полноте (не опечатка — совсем не то, что теорема о неполноте, совпадение терминологии весьма неудачно) говорит о том, что любая непротиворечивая теория имеет модель. В частности, согласно разделу выше теория$\mathsf{PA+\neg Con(PA)}$должна быть модель,$M$.

На первый взгляд это кажется странным:$M$должен думать, что часть его собственного поведения противоречива! Лично я считаю, что на это стоит обратить внимание («Зачем мне просить показать доказательство непоследовательности PA?»), и соответствующая часть аргумента просто пытается демистифицировать его.

Изюминка конечно в том что$\neg\mathsf{Con(PA)}$является экзистенциальным утверждением, и вещи в$M$который ($M$мысли) свидетельствуют об истинности этого утверждения, на самом деле не являются стандартными натуральными числами (то есть не находятся в диапазоне уникального вложения$\mathbb{N}\rightarrow M$). Так что нет никакого противоречия между$M$думая, что есть число, кодирующее противоречие в$\mathsf{PA}$, и на самом деле такого числа на самом деле не существует.

1. Теория «ненависти к себе» — всего лишь причудливый термин автора для теории вроде$\mathrm{PA} + \lnot(\mathrm{Con}(\mathrm{PA}))$что утверждает несостоятельность одной из его подтеорий. Если$\mathrm{PA} + \lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$были противоречивы, мы могли бы вывести противоречие из$\mathrm{PA} + \lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$, что означало бы, что$\mathrm{PA}$смог бы доказать$\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$, что противоречит второй теореме о неполноте. (Я предполагаю, что на протяжении всего этого$\mathrm{PA}$на самом деле соответствует.)
2. Второй момент заключается в том, что, как мы теперь знаем,$\mathrm{PA} + \lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$непротиворечива, теорема о полноте говорит нам, что она должна иметь модель. Тогда, конечно, естественно задаться вопросом, на что могла бы быть похожа эта модель. Нетрудно заметить, что любая модель теории, расширяющая$\mathrm{PA}$включает в себя копию натуральных чисел с обычными арифметическими операциями — назовем числа в этой копии стандартными натуральными числами. Но что$\lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$на самом деле говорит, что есть номер$X$который кодирует доказательство$0 \neq 0$. Это число не может быть стандартным натуральным числом, иначе оно кодировало бы доказательство в$\mathrm{PA}$из$0 \neq 0$. Итак, мы заключаем, возвращаясь к определению$\mathrm{Con}$, что модель включает в себя множество нестандартных натуральных чисел, которые создают иллюзию того, что$0\neq 0$имеет доказательство.