Почему у электронов меньше энергии, чем у фотонов с той же длиной волны?

Для фотона имеем

$$E_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$$ и для электрона $$E_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2} =\frac{hc}{\lambda} \frac{h}{2mc\lambda} = E_\gamma \frac{h}{2mc\lambda}.$$ Можно проверить, что коэффициент пропорциональности безразмерен. Итак, вы спрашиваете, почему эта величина меньше единицы. Но помните, что $$\frac{h}{\lambda} =p$$ куда $p$это импульс. То, на что мы смотрим, на самом деле (половина) отношения $$\frac{pc}{mc^2} = \frac{mvc}{mc^2}$$ где я предполагал, что $v \ll c$, то есть имеем нерелятивистский электрон. Тогда мы получим результат, который вы указали в своем вопросе. С другой стороны, если мы не делаем этого приближения, мы имеем отношение $$\frac{pc}{mc^2} =\frac{mv\gamma c}{mc^2} = \frac{v\gamma}{c}$$ который неограничен, когда $v \to c$.

Вы также можете поспорить с Эйнштейном

$$E^2 = m^2 + p^2$$ (в единицах, где $c = 1$). За $m = 0$у нас есть конечно $E = p$. Если вы сделаете разложение Тейлора $E$за $m\neq 0$, $$E = m + \frac{p^2}{2m} + \ldots$$ вы видите, что кинетическая энергия по сравнению с энергией безмассовой частицы имеет множитель $p/m$(как мы выяснили выше). Нерелятивистский режим – это именно когда эта величина мала, а если нет, то приходится включать члены, пропорциональные $p^4/m^3$и выше, и опять же, что у массивной частицы энергия может быть больше, чем у безмассовой с тем же импульсом. Так что ответ на ваш вопрос действительно таков: потому что вы рассматриваете нерелятивистские частицы.

Энергия частицы пропорциональна частоте колебаний ее волновой функции,$E=h\nu$. Фотон всегда движется со скоростью$c$, поэтому его длина волны связана с частотой обычным образом для бегущей волны,$\lambda = c/\nu = hc/E$.

Массивная частица движется медленнее, чем фотон, поэтому ее длина волны короче при том же количестве энергии. Наивно можно предположить, что частица, движущаяся со скоростью$v$было бы$\lambda = hv/E$как его длина волны. Это неверно, потому что не учитывает относительность, но может дать вам представление о том, почему длина волны короче у частицы с массой.

Чтобы получить правильное соотношение, нам нужно учитывать релятивистскую энергию частицы. Согласно специальной теории относительности, энергия на самом деле$E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$. Для покоящейся частицы это знаменитый$E=mc^2$. Кинетическая энергия – это разница между полной энергией и энергией покоя (массовой энергией).

Для фотона вся энергия является кинетической, потому что у него нет массы. Для нерелятивистского электрона с импульсом$p \ll mc$, мы можем использовать разложение Тейлора, чтобы получить приближенное выражение для кинетической энергии.

$$\begin{align} KE &= \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}-mc^2\\ &\approx mc^2\left(1+{1 \over 2}{p^2c^2 \over m^2c^4 }\right)-mc^2\\ &={p^2 \over 2m} \end{align}$$

Длина волны Де Бройля связана с импульсом соотношением$\lambda =h/p$, и подключив его, мы получим формулы, о которых вы спрашивали.

$$\begin{align} E_{\mathrm{photon}} &= {hc \over \lambda}\\ E_\mathrm{electron} &= {h^2 \over 2m\lambda^2} \end{align}$$

Несколько иная точка зрения состоит в следующем. Во-первых, обратите внимание, что формулы, данные ОП, сами по себе не исключают возможности того, что электрон имеет ту же или большую энергию, что и фотон той же длины волны. Действительно, для достаточно малых$\lambda$нерелятивистская формула$E = h^2/(2m \lambda^2)$предсказывает, что электрон имеет большую энергию, чем фотон. «критическая» длина волны$\lambda_c$где происходит пересечение, находится путем приравнивания двух выражений, что дает

$$\frac{hc}{\lambda_c} = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_c \approx \frac{h}{mc},$$ пренебрегая множителем 2. Но эта величина имеет и другое значение: это длина волны Комптона. Это длина волны, при которой кинетическая энергия электрона примерно равна его массе покоя: $$\frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \approx m c^2.$$ Выше этой энергии спонтанное образование электрон-позитронных пар становится важным. Таким образом, нерелятивистская концепция «одиночного электрона» теряет смысл, как только энергия становится сравнимой с фотоном той же длины волны.