Поиск подходящей вселенной для данной структуры

Я новичок на этом форуме, поэтому я надеюсь, что мой математический способ написания здесь правильный, поскольку я не делал этого раньше. :(

Я беру свой класс логики в настоящее время и наткнулся на следующую задачу.

Нам дана структура г из универсальной алгебры, влекущей за собой область (или вселенную ) г "=" ℘ ( Н ) (множество степеней натуральных чисел), подпись ю "=" { ∪ , ∩   , с } где { ∪ , ∩ с } набор функциональных символов и с является лишь дополнением { г ′ с "=" Н ∖ г ′ | г ′ е ℘ ( Н ) } - в соответствии с определением . (У нас есть чисто алгебраическая структура без символов отношения).

Кроме того, нам даны два подмножества вселенной ℘ ( Н ) (которые, опять же, вселенные сами по себе) с

(1) { г ″ ⊆ Н | г ″ конечный}.

(2) { г ″ ⊆ Н | г ″ , г ″ с бесконечный}.

И, как я понял, мы должны доказать, существует ли подструктура г над вселенной (1). Если нет, то мы дадим наименьшую подструктуру г который содержит (1) . То же самое для вселенной (2).

Итак, что я знаю, так это то, что подструктура Ф (со своей вселенной Ф ) должен удовлетворять свойствам

я. Домен Ф содержится в домене г , т.е. | Ф | ⊆ | г | . (или Ф ⊆ г )

II. Ф и г иметь ту же подпись ю ( Ф ) "=" ю ( г ) .

Теперь я понимаю, что тривиально (1) не может быть вселенной подструктуры г потому что его подмножества не замкнуты относительно дополнения, а (2) также не может быть, так как его подмножества не замкнуты относительно объединения. Тем не менее, я действительно не знаю, как я мог бы найти наименьшую подструктуру г который будет содержать (1), (2) или оба. Так что я был бы очень признателен за вашу помощь.

Большое спасибо, Джанна

В (1) и (2) это г ⊆ Н , как у вас, или г ⊆ ℘ ( Н ) ? В первом случае (как есть) это довольно тривиально и одинаково для обоих вопросов, если я что-то не понимаю...
Да действительно г ⊆ Н . Однако я не понимаю, насколько это тривиально... Надеюсь, я не написал никаких противоречивых/запутанных обозначений?
В этом случае подструктура, созданная г имеет базовый набор
{ ∅ , г , Н ∖ г , Н } .
И операции те же, что и в ℘ ( Н ) . Но, может быть, это не то, что вы хотите?
Вы имеете в виду, что предлагаемая вами вселенная с ее подписью является наименьшей подструктурой, которая влечет за собой (1) и (2)? И если вы так думаете, не могли бы вы объяснить, почему это влечет за собой (1) и (2)? Недвижимость я. и ii. очевидно тривиальны.
Если г ⊆ Н (либо конечное, либо бесконечное), то указанное выше множество замкнуто относительно операций ю , и это меньшее такое множество, содержащее г : действительно, если г принадлежит любому такому множеству, то г с "=" Н ∖ г , а затем также ∅ "=" г ∩ г с и Н "=" г ∪ г с .
Комментарий к написанному. Кажется, вы использовали письмо г для трех совершенно разных вещей здесь: (а) область г , г "=" п ( Н ) . (b) Переменная в диапазоне п ( Н ) в определении с . (c) Подмножество Н используется для указания подмножеств п ( Н ) о чем вы спрашиваете в (1) и (2). Это довольно запутанно!
Вот некоторые другие вещи, которые меня смущают. Вы можете уточнить? (1) Вы говорите, что с должен быть символом отношения. Какова арность этого символа отношения? Является ли он бинарным, так что ( Икс , Д ) удовлетворяет соотношению тогда и только тогда, когда Д "=" Икс с ? (2) Вы спрашиваете об одном фиксированном конечном г ⊆ Н , или о множестве всех { г ⊆ Н ∣ г  конечен } ? Я думаю, что второй вариант - это то, что вы имели в виду, но это не совсем понятно. (3) Что вы подразумеваете под «влечёт за собой»? Возможно, вы имели в виду «наименьшую подструктуру, содержащую [множество, определенное] (1)»?
Извините, это мой первый вопрос на Stackexchange, поэтому я не знал точных соглашений. :( По поводу ваших баллов, (1) Арность (если не ошибаюсь) бинарная, если посмотреть как с определяется в задании. (2) Я действительно имею в виду последнее. Любой произвольный набор, являющийся подмножеством (1) или (2). Я уже уверен, что они не могут быть вселенной для потенциальной подструктуры, так что (3) я имею в виду содержит. Прошу прощения, английский не мой родной язык, я думал, что «сопровождение» и «содержание» подразумевают одно и то же. @amrsa: Спасибо за объяснение.
@AlexKruckman Я только что отредактировал вопрос, надеюсь, мне удастся улучшить читаемость.
Спасибо за уточнение - теперь намного понятнее. Добро пожаловать на Math Stackexchange!
Спасибо:)) рад быть здесь!
Ах! Эта новая версия выглядит лучше для меня. Видите ли, говоря, что генераторная установка - это что-то вроде г "=" { Ф ⊆ Н : Ф  конечен } эквивалентно г ⊆ ℘ ( Н ) и Ф конечен всякий раз, когда Ф е г . Уже не банально!

Ответы (1)

В общем, если А представляет собой структуру и Б ⊆ А является подмножеством домена А из А , затем Б является доменом подструктуры А если и только если Б содержит все интерпретации символов-констант в языке и закрыт для всех интерпретаций функциональных символов в языке. То есть, если с является постоянным символом, мы требуем, чтобы с А е Б , и если ф является н -ary функциональный символ и б 1 , … , б н е Б , мы требуем, чтобы ф А ( б 1 , … , б н ) е Б .

Для произвольного подмножества Б ⊆ А , существует наименьшее подмножество ⟨ Б ⟩ содержащий Б который является доменом подструктуры. Это называется подструктурой, созданной Б . Интуитивно, ⟨ Б ⟩ состоит из всех элементов А которое можно «построить» из констант и элементов Б путем применения функций. Более формально это можно описать как

⟨ Б ⟩ "=" { т А ( б 1 , … , б к ) ∣ т ( Икс 1 , … , Икс к )  это термин, и  б 1 , … , б к е Б } .

Итак, в ситуации вашего вопроса у нас есть структура г "=" ( ℘ ( Н ) , ∪ , ∩ , с ) , где ∪ , ∩ , и с являются функциональными символами (константных символов нет). Как вы указали, ни одно из заданных множеств не является доменом подструктуры, поскольку (1) не закрыто под дополнениями и (2) не замкнуто под пересечениями или объединением. Итак, какие подструктуры они генерируют?

Подсказки:

(1) Конечные подмножества Н замкнуты относительно пересечений и объединений, но не относительно дополнений. Итак, в качестве первого шага мы можем добавить их дополнения, чтобы получить { Икс ⊆ Н ∣ Икс  конечен } ∪ { Икс ⊆ Н ∣ Икс с  конечен } . Замкнуто ли это множество относительно пересечений, объединений и дополнений?

(2) Набор Ф "=" { Икс ⊆ Н ∣ Икс  и  Икс с  бесконечный } замкнут относительно дополнений, но не относительно пересечений и объединений. Какие подмножества Н Вы можете сделать, пересекая два набора в Ф ? Как насчет объединения двух множеств в Ф ?

Большое спасибо за такой развернутый ответ!! Я думаю, что даже меня здесь немного смущает то, что в задаче явно не указано, с фактически является символом функции или символом отношения. Один из наших наставников здесь сказал, что он должен быть закрыт при всех операциях. Возможно, все операции являются просто функциональными символами. Но опять же - будет ли это допустимой структурой только с функциональными символами и вообще без символов отношения?
Я понимаю. В своем вопросе вы написали, что с является символом отношения, поэтому я пошел с ним. Если проблема не уточняется, вам, вероятно, следует обратиться за разъяснениями к профессору, но я думаю, что очень вероятно, что ∩ , ∪ , и с все предназначены для использования в качестве функциональных символов. Нет требования, чтобы структура имела символы отношений - множество символов отношений может быть пустым (то же самое для функциональных символов и константных символов).
какое время, я только что получил письмо от нашего профессора!! :) он сказал, что все они предназначены для использования в качестве функциональных символов. Он забыл сказать это в задании видимо. Так что я прав, и (1) и (2) не могут быть правы! что также оставляет меня с моим первоначальным вопросом, хотя... :( если с был символом отношения, тривиально, он был бы (1) в качестве подструктуры!
@GiannaAlbertini Я отредактировал свой ответ, чтобы ответить на новую версию вопроса.
@GiannaAlbertini Потратьте немного времени, чтобы проверить это: что мне делать, когда кто-то отвечает на мой вопрос? . Если вас устраивает этот ответ, вы можете принять его и, возможно, даже проголосовать за него, поскольку у вас уже есть необходимый показатель репутации.
Большое спасибо, профессор, я смог выяснить остальную часть доказательства благодаря вашим подсказкам: D @amrsa сделал именно это;)
Поиск подходящей вселенной для данной структуры
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v