Помогите вывести простое уравнение в двумерном столкновении - сохранение импульса

$v_1$и$v_2$- величины скоростей масс$m_1$и$m_2$соответственно до столкновения, а$v_1'$и$v_2'$- модуль скорости после столкновения. Один объект входит и поражает другой. Предположим, что первый объект появляется по оси x (мы свободны в выборе). После столкновения,$m_1$отходит под углом$\theta_1$к оси х и$m_2$отходит под углом$\theta_2$.

Нам говорят, что закон сохранения импульса подразумевает:

$$m_1 v_1 = m_1 v_1' \cos{\theta_1}+m_2 v_2' \cos{\theta_2}$$ и $$0 = m_1 v_1' \sin{\theta_1} + m_2 v_2' \sin{\theta_2}$$

Одна возможность состоит в том, что второй объект изначально покоится ($v_2 = 0$). Я предполагаю это. Если да, то это означает, что если$\theta_1$положительный (отрицательный),$\theta_2$отрицательный (положительный).

Нам также говорят, что$m_1 = m_2 = m$, поэтому разделив на$m$дает:

$$v_1 = v_1' \cos{\theta_1}+ v_2' \cos{\theta_2}$$ и $$0 = v_1' \sin{\theta_1} + v_2' \sin{\theta_2}$$

Возведение обоих уравнений в квадрат дает:

$$v_1^2 = v_1'^2 \cos^2{\theta_1}+ v_2'^2 \cos^2{\theta_2} + 2v_1'v_2'\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}$$ и $$0 = v_1'^2 \sin^2{\theta_1} + v_2'^2 \sin^2{\theta_2} + 2v_1'v_2'\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}$$

Добавление первого уравнения ко второму и использование тригонометрического тождества$\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1 - \theta_2)$:

$$v_1^2 = v_1'^2(sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1) + v_2'^2(sin^2\theta_2 + \cos^2\theta_2) + 2v_1'v_2'(\cos\theta_1\cos\theta_1 + \sin\theta_1\sin\theta_2) =v_1'^2 + v_2'^2 +2 v_1' v_2' \cos(\theta_1-\theta_2)$$

Наконец, умножьте на$\tfrac{1}{2}m$:

$$\tfrac{1}{2}mv_1^2 = \tfrac{1}{2}mv_1'^2 + \tfrac{1}{2}mv_2'^2 +mv_1' v_2' \cos(\theta_1-\theta_2)$$

Обратите внимание, что последний член справа — это выражение, которое вы пытаетесь доказать равным нулю.

Если кинетическая энергия сохраняется при столкновении, т. е. если столкновение абсолютно упругое, то по определению кинетической энергии

$$\tfrac{1}{2}mv_1^2 = \tfrac{1}{2}mv_1'^2 + \tfrac{1}{2}mv_2'^2$$

В этом и только в этом случае должно быть так,$mv_1' v_2' \cos(\theta_1-\theta_2) = 0$, потому что$\tfrac{1}{2}mv_1^2$не может равняться двум разным вещам.

Если столкновение не является упругим, я не вижу, как доказать результат, потому что на самом деле результат в этом случае неверен.