Понимание квантового ластика с точки зрения квантовой информации

Ответ структурирован следующим образом:

1. Сначала я приведу квантовую схему, соответствующую обычной двойной щели (или интерферометру),
2. затем цепь, где была записана информация о том, какой путь был записан,
3. схема, в которой информация о направлении сначала записывается, а затем стирается единым способом,
4. и, наконец, схема, в которой информация о том, какой путь стирается посредством когерентного измерения (выбираемого после результата измерения), которое может быть выполнено до или после («отложенный выбор») обнаружения фотона; это обычно называют «квантовым ластиком».

---

I. Помехи без указания направления

Интерферометру соответствует следующая схема:

Вот, первый$H$помещает кубит в суперпозицию обоих путей/щелей — состояний$\vert0\rangle$и$\vert1\rangle$соответствуют двум путям/щелям -- матрица

$$\Lambda = e^{i\phi/2}\vert0\rangle\langle0\vert + e^{-i\phi/2} \vert1\rangle\langle1\vert$$ вводит фазовый сдвиг между двумя путями (это может, например, быть функцией положения на экране или относительной длины плеч интерферометра), а второй $H$заставляет два пути мешать. Если выходной кубит измеряется в состоянии $\vert0\rangle$, вмешательство является конструктивным, в противном случае - деструктивным.

Вы можете легко проверить, что это дает интерференционную картину, которая меняется как$\mathrm{prob}(0)=\cos(\phi)^2$.

---

II. Какая информация уничтожает помехи

Теперь представьте, что мы хотим скопировать информацию о направлении:

это значит, что мы копируем информацию о том, куда идти, прежде чем пройти через интерферометр на кубит.$c$. Легко видеть, что это разрушает интерференционную картину, т. е.$\mathrm{prob}(0)=1/2$.

---

III. Унитарное стирание информации о пути

Наконец, если мы хотим снова стереть информацию о направлении пути после прохождения интерферометра унитарным способом, мы делаем следующее:

Снова легко видеть, что (поскольку$\Lambda$является диагональным) это отменяет эффект первого CNOT (т. е. стирает информацию о том, какой путь), и, таким образом, мы снова наблюдаем интерференционную картину.

---

IV. Квантовый ластик и эксперимент с отложенным выбором

Схема части III — это не то, что обычно называют квантовым ластиком (спасибо Эмилио Писанти за пояснение). путь. Преимущество состоит в том, что это измерение, таким образом, коммутирует с обнаружением фотона и, следовательно, может быть выполнено намного позже обнаружения фотона («отложенный выбор»). Недостатком является то, что мы восстанавливаем нашу интерференционную картину только в том случае, если мы обеспечиваем успешное стирание информации о направлении.

Процедура описывается следующей схемой:

Здесь мы копируем информацию о направлении на кубит.$c$перед пересечением интерферометра. После интерферометра$H$заставляет два пути пересекаться, и мы измеряем. Обратите внимание, что на данный момент это не что иное, как процедура части II и, таким образом,$\mathrm{prob}(0)=1/2$. (В частности, никаких помех не наблюдается.)

Теперь мы измеряем кубит направления. Есть два способа его измерения:

1. Изучение информации о пути

Измерение в$\vert0\rangle$,$\vert1\rangle$основа показывает, какой путь информации. Пройдясь по математике, вы легко увидите, что в этом случае распределение для$q$является$\mathrm{prob}(0)=1/2$для обоих исходов$c=0$и$c=1$.

(Обратите внимание, что состояние перед измерением на$q$ зависит от результата$c$-- вы можете понять это, либо изменив порядок двух измерений, либо сказав, что состояние перед измерением запутано.)

2. Удаление информации о направлении

Давайте теперь вместо этого измерим$c$в$\vert+\rangle$,$\vert-\rangle$основа. Если мы получим результат$\vert+\rangle$, мы эффективно стерли информацию о том, какой путь. Это можно понять, переместив измерение полностью к CNOT и отметив, что CNOT в этой установке, за которой следует проекция на$\vert+\rangle$состояние на целевом кубите, соответствует идентичности на контрольном кубите.

Если мы получим$\vert+\rangle$, (условное!) распределение вероятностей на$q$будет так$\mathrm{prob}(0)=\cos(\phi)^2$.

Что произойдет, если мы получим$\vert-\rangle$? В этом случае нетрудно проверить, что проекция CNOT + дает паулиевскую$Z$, т. е. имеется дополнительный фазовый сдвиг$\pi$между двумя путями интерферометра. То есть в этом случае интерференция все равно будет, но интерференционная картина будет сдвинута на полинтервала, т.е.$\mathrm{prob}(0)=\sin(\phi)^2=1-\cos(\phi)^2$.

Итак, чему это нас учит? Пока мы не знаем результат измерения на$c$кубит, мы увидим среднее значение обеих интерференционных картин, которое есть не что иное, как

$$\tfrac{1}{2}\Big[\sin(\phi)^2+\cos(\phi)^2\Big]=\frac{1}{2}\ ,$$ и таким образом точно так же, как если бы мы не измеряли $c$, или измеряется в зависимости от направления. Это, конечно, имеет большой смысл — наблюдения над $q$не должно зависеть от того, будет ли (и как) $c$был измерен.

Таким образом, для выявления интерференционной картины при стирании путевой информации приходится проводить эксперимент повторно (однократный запуск явно не позволит определить$\mathrm{prob}(0)$или увидеть интерференционные полосы). Как только мы это сделали, нам нужно взять все результаты (клики) на$q$где работает стирание (т.е. где мы получили$\vert+\rangle$на$c$) и смотреть только на них, т. е. на условное распределение вероятностей$\mathrm{prob}(q=0|c=+)$. Как только мы это сделаем, но только тогда, мы увидим интерференционную картину. Ничего волшебного здесь не происходит.

Я воздержусь от интерпретаций здесь, но в зависимости от личной интерпретации это может иметь некоторые последствия для того, что фотон «делает», проходя через двойную щель.

---

(Схемы, созданные с помощью qasm2circ .)

(Схемы могут быть смоделированы здесь .)