Поскольку z-преобразование нулевого порядка равно 1, зачем включать его в анализ или моделирование?

Вышеуказанный ZOH TF является связующим звеном между непрерывными и дискретными доменами в гибридных системах. Это наиболее удобный механизм представления гибридной системы в виде передаточной функции. Между ними, конечно, нет однозначной связи.$s$и$z$домены, следовательно, это математическое удобство. В приведенном выше соотношении экспоненциальный член должен быть отрицательным (а не положительным, как указано), что дает$z$-эквивалент$1-\exp(-sT)$как$(z -1)/z$включаться в чисто дискретные блоки (фильтры и т. д.) и$1/s$часть ZOH должна быть включена с другой непрерывной$s$-блоки. $s$-TF непрерывных элементов затем преобразуется в$z$-домен, дающий общий$z$-ТФ.

Если кого-то это волнует, интересно сделать z-преобразование ZOH с ДРУГОЙ скоростью. Другими словами, скажем, у вас есть цифровой сигнал$X_{in}$который оцифровывается с частотой 50 Гц, поэтому$T_1 = 0.02 \mathrm{s}$, каждая выборка сигнала отстоят друг от друга на 20 мс. Скажем, у вас есть компьютерная программа, которая работает с этим сигналом на частоте 100 Гц (пусть$T_2 = 0.01 \mathrm{s}$). В компьютере происходит то, что переменная$X_{in}$который меняется каждые 20 мс, ваша программа отбирает каждые 10 мс, и выполняется некоторая операция, производящая вывод$X_{out}$. Поскольку значение$X_{in}$просто сохраняет свое значение, пока оно не изменится каждые 20 мс, вы можете считать это ZOH:

$(1 - e^{-sT_1})/s$

Теперь вам нужно провести повторную оцифровку в$1/T_2$ставка. Числитель просто становится

$(1-z_1^{-1})$

и числитель (через преобразование s-to-Z):

$\frac{1}{(1-z_2^{-1})}$

в результате чего:

$\frac{(1-z_1^{-1})}{(1-z_2^{-1})}$

Позвольте мне вернуться немного назад и определить$z_1$и$z_2$.

Так как, в общем,$z = e^{-sT}$, определять$z_1 = e^{-sT_1}$, и$z_2 = e^{-sT_2}$

отмечая, что$T_1 = 2 T_2$,$z_1 = e^{-sT_1} = e^{-s2T_2} = e^{2(-sT_2)} = z_2^2$

заменять$z_2^2$для$z_1$:

$\frac{1-z_1^{-1}}{1-z_2^{-1}} = \frac{1-z_2^{-2}}{1-z_2^{-1}} = \frac{(1-z_2^{-1})(1+z_2^{-1})}{1-z_2^{-1}} = 1+z_2^{-1}$

Таким образом, конечный результат на самом деле очень интуитивно понятен, если подумать. Программа, повышающая дискретизацию$X_{in}$от 50 до 100 Гц просто берется оригинальная копия$X_{in}$(часть результата «1») и добавление к ней копии того же образца, задержанного на один$T_2$примерный шаг (т.$z_2^{-1}$часть). Простой пример:

Сказать$X_{in} = [1;2;3;4]$, с шагом выборки$T = 20\mathrm{ms}$Затем$X_{in}$апсемплинг с ZOH будет выглядеть так

$X_{inupzoh} = [1;1;2;2;3;3;4;4]$с шагом выборки$T = 10\mathrm{ms}$

ЗАМЕЧАНИЕ, что БЕЗ ZOH (например,$X_{in}$очищался каждый раз при чтении),$X_{in}$было бы:

$X_{inup} = [1;0;2;0;3;0;4;0]$

Теперь самое интересное (если вы застряли со мной): если у вас есть доступ к инструменту (например, Matlab) для построения графиков ffts и bode:

Сделайте фф$X_{in}=[1;2;3;4]$, а также$X_{inup}$и$X_{inupzoh}$. Вы можете посмотреть реальную и воображаемую части результатов БПФ или преобразовать результаты БПФ в амплитуду и фазу и увидеть удивительные результаты.

Вы должны увидеть, что повышение частоты дискретизации без ZOH просто сдвигает частоту Найквиста. Вы должны помнить, что спектр цифрового сигнала является периодическим и бесконечным , это означает, что даже если мы обычно смотрим на спектр только от$0$к$\frac{T_s}{2}$, этот спектр на самом деле повторяется каждые$\frac{kT_s}{2}$на оси частот. Повышение частоты дискретизации без ZOH на самом деле не изменило сигнал (только вставило нули), но ДЕЙСТВИТЕЛЬНО сдвинуло частоту Найквиста. Затем вы можете видеть, что ДОБАВЛЕНИЕ еще одной копии сигнала, задержанного на одну точку выборки, дает интересный эффект усиления И фазы. На низких частотах усиление фактически удваивается, и усиление не достигает единицы до тех пор, пока$\frac{2}{3}\times 50\mathrm{Hz}$и падает после этого. Это очень реальный эффект, который МОЖЕТ вызвать проблемы для некоторых систем управления, чувствительных к усилению и/или фазе.

Даунсемплинг немного сложнее математически... Я уже набрал слишком много....