Правильно ли сказать: «Время замедляется, чем глубже мы погружаемся в гравитационное поле, потому что часть его преобразуется в пространственную скорость»?

Я не знаю, почему люди минусуют вопрос. Очевидно, что вы недостаточно знакомы с общей теорией относительности, но я понимаю ваш вопрос.

В ОТО самым важным объектом является метрика , которая говорит нам, как измерять расстояния, используя некоторые координаты. Квадрат длины бесконечно малого отрезка в пространстве-времени определяется выражением

$$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu =\left[ \matrix{ dx_0 & dx_1 & dx_2 & dx_3} \right]\left[ \matrix{ g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03 } \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13 } \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23 } \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}} \right] \left[ \matrix{ dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3} \right]$$

Здесь,$g_{\mu \nu}$называется метрическим тензором и представляет собой матрицу, которая содержит всю информацию, необходимую нам для измерения временных и пространственных расстояний.

Скорость в ОТО описывается 4-вектором, известным просто как 4-скорость . Это дано

$$U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ $\tau$обозначает собственное время , которое определяется $d\tau^2 = -ds^2$, но пока не будем беспокоиться о его значении. Параметр $c=1$для простоты мы можем написать компоненты вектора явно: $$U^\mu = (\gamma, \gamma \mathbf{u}) = \left[ \matrix{ \gamma \\ \gamma \frac{dx_1}{dt} \\ \gamma \frac{dx_2}{dt} \\ \gamma \frac{dx_3}{dt} } \right]$$ Здесь, $\gamma$- фактор Лоренца, заданный выражением $$\gamma = \frac{d\tau}{dt}$$ и он описывает отношение изменения собственного времени по отношению к координатному времени . Другими словами, он описывает, насколько сильно вы перемещаетесь в пространстве-времени, когда вы не перемещаетесь в пространстве в этой системе координат. Или, если хотите, он описывает скорость во времени (точнее, замедление времени). Остальные три компонента описывают скорость в пространстве , умноженную на $\gamma$.

Следишь до сих пор? Если нет, поищите неизвестные термины, вы легко их найдете!

Хорошо, с этим покончено, давайте посмотрим, что происходит в гравитационном поле вблизи незаряженного невращающегося сферического объекта массы$M$. Решение этой проблемы проще всего выразить с помощью метрики Шварцшильда , заданной формулой

$$ds^2 = - \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$ Здесь, $G$— гравитационная постоянная Ньютона, а используемые нами координаты известны как координаты Шварцшильда . $t$- временная координата, измеряемая наблюдателем, бесконечно удаленным от объекта и $r$- радиальная координата, измеряющая окружность, деленная на $2\pi$, сферы с центром вокруг объекта. Для простоты можно просмотреть $t$как время и $r$как расстояние от центра объекта, но имейте в виду, что эти координаты имеют конкретные определения. $\Omega$обозначает угловые координаты, но давайте не будем о них здесь беспокоиться.

Подставив его в формулу с самого начала, вы можете записать элемент пространственно-временного расстояния (для простоты игнорируя угловую часть, т.е.$d\Omega = 0$), используя это матричное уравнение:

$$ds^2 = \left[ \matrix{ dt & dr } \right] \left[ \matrix{- \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) & 0 \\ 0 &\left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1}} \right] \left[ \matrix{ dt \\ dr } \right]$$

Тогда скорость (опять же без учета угловой части) равна

$$\left[ \matrix{ \frac{dt}{d \tau} \\ \frac{dr}{d \tau} } \right] = \left[ \matrix{ \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r}} }\\ \sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r} } } \right]$$

Итак, когда вы приближаетесь к объекту,$r$уменьшается, и ваша скорость во времени уменьшается, а скорость в пространстве увеличивается. Но не считайте расстояния$r\leq 2GM$потому что вы столкнетесь с некоторыми проблемами, которые выходят за рамки этого ответа. ( Для полноты позвольте мне упомянуть, что объекты с радиусом меньше$2GM$являются черными дырами, и их горизонт событий будет находиться на$r_s=2GM$, известный как радиус Шварцшильда )

Итак, ответ на ваш вопрос - да , но нужно быть осторожным со словами и быть конкретным с их значением.

Возможно, я где-то пропустил знак минус, но это не должно повлиять на вывод. я использовал$(-,+,+,+)$соглашение. Можете поправить меня или указать на ошибку.