Преобразование действия гравитации из дифференциальных форм в тензорную составляющую

Я не уверен в ваших соглашениях для тензора Римана или двух форм кривизны, но это должно быть хорошо. у нас есть это

$$\Omega^{cd} = R^{cd}{}_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu$$ в локальных координатах (на самом деле мы должны быть осторожны, поскольку координаты могут быть определены не везде на многообразии). Далее, тетрада/виербейн удовлетворяет условию $e^a = e^a_\mu dx^\mu$. Таким образом, левая часть составляет

$$M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}(e^a_\mu dx^\mu)\wedge (e^b_\nu dx^\nu)\wedge R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma$$

Базовые формы 1 — это единственные вещи, которые заботятся о продукте клина/внешнем продукте, но функции, которые находятся перед ними, могут быть перемещены:

$$M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}(e^a_\mu dx^\mu)\wedge (e^b_\nu dx^\nu)\wedge R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma = M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}e^a_{\mu} e^b_\nu R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$$

Однако обратите внимание, что$dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$является перестановкой элемента объема$d^4x$при условии, что нет двух одинаковых индексов (иначе он равен нулю). Таким образом$dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} d^4 x$, и, следовательно, мы имеем результат.