Преобразование линейно независимого множества линейно независимо

Вопрос

Позволять в 1 , ⋯ , в н быть векторами в векторном пространстве В и разреши Т : В → Вт быть линейным преобразованием.
если Т ( в 1 ) , ⋯ , Т ( в н ) линейно независим в Вт , покажи то в 1 , ⋯ , в н линейно независим в В .

Вот что у меня есть до сих пор:

если Т ( в 1 ) , ⋯ , Т ( в н ) линейно независим, существуют скаляры, равные 0 так что:

с 1 Т ( в 1 ) + с 2 Т ( в 2 ) + ⋯ + с н Т ( в н ) "=" 0 Т ( с 1 в 1 + ⋯ + с н в н ) "=" 0

потому что Т является линейным преобразованием.

Куда мне идти отсюда? Мне нужно доказывать, что Т является вводным от Могу я просто заявить, что в 1 , ⋯ , в н линейно независим, потому что я заявил ранее, что скаляры равны 0 ?

Там должно быть больше, чтобы Т , поскольку проецирование базисных векторов на подпространство не сохраняет линейной независимости.
@Cbjork Ему просто нужно вернуть линейную независимость. Предполагается, что изображение линейно независимо.
Ах, я должен прочитать вопрос
Попробуйте доказать обратное. Если у вас есть нетривиальная линейная комбинация среди в 1 , … , в н , то что происходит при применении Т
@IBWiglin, можешь перефразировать? линейная алгебра не моя сильная сторона. Так что вся терминология проходит мимо меня. извини :(

Ответы (1)

Вы хотите показать в 1 , … , в н линейно независимы. Предположим, что нет. Тогда есть скаляры с 1 , … , с н (не все нули), так что с 1 в 1 + … + с н в н "=" 0 . Затем

Т ( с 1 в 1 + … + с н в н ) "=" Т ( 0 ) "=" 0.
Так с 1 Т ( в 1 ) + … + с н Т ( в н ) "=" 0 , Который означает, что Т ( в 1 ) , … , Т ( в н ) не являются линейно независимыми. Это противоречие означает предположение, что в я s линейно зависимы, ложно, поэтому они действительно линейно независимы.

я записал, что если v_1,…,v_n линейно зависимы, то не все скаляры c_1,...,c_n равны нулю, что противоречит утверждению, что c_1,...,c_n равны нулю. Будет ли это работать? Имеет ли это смысл?
Какое определение линейной независимости вы используете?
Преобразование линейно независимого множества линейно независимо
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v