Примитивный тройной генератор Пифагора

Легко видеть, что если$(z,u,w)$является примитивной пифагоровой тройкой, то$w$нечетно и либо$z$странно и$u$четно или$z$даже и$u$странно. WLOG предположим, что$u=2x$четно, поэтому$z$странно. Затем

Ясно, что$\gcd(w+z,w-z)=2$, так$y_1:=(w+z)/2$и$y_2:=(w-z)/2$взаимно простые положительные целые числа. Таким образом

и поэтому$y_1$и$y_2$являются относительно простыми делителями$x^2$. Это означает, что$y_1$и$y_2$являются идеальными квадратами, поэтому напишите$y_1=a^2$и$y_2=b^2$. Следовательно,

Это доказывает, что каждая примитивная тройка имеет вид$(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)$, как хотел.

Конечно, условие$\gcd(a,b)=1$нужно, иначе$(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)$не будет примитивным.

Даже в статье в Википедии , на которую ссылается @JeanMarie, я не смог найти следующий быстрый аргумент, который дает все тройки Пифагора одним махом: уравнение Пифагора, будучи однородным, эквивалентно уравнению в рациональных переменных$Z^2 + U^2 = 1$или эквивалентно$N(Z + iU) = 1$, где$N$обозначает карту норм из$\mathbf Q(i)$к$\mathbf Q$,$i^2 = - 1$. Расширение$\mathbf Q(i)/\mathbf Q$будучи циклическим, с группой Галуа, порожденной комплексным сопряжением, применяется теорема Гильберта 90, которая показывает, что$N(Z + iU) = 1$если$Z + iU$имеет форму$A + iB /A - iB$. Из идентификации следует, что$Z = A^2 - B^2 /A^2 + B^2$и$U = 2AB / A^2 + B^2$. Очистка знаменателей немедленно дает обычные целочисленные тройки Пифагора.$z = a^2 - b^2 , u = 2ab, w= a^2 + b^2$. Очистка общих множителей явно дает примитивные тройки.

Я думал, что у меня есть доказательство того, что если$m,n$взаимно просты,$m,n$будет генерировать только примитивные пифагорейские тройки. $proof$находится между звездочкой ниже.

$\text{We are given }\quad A=m^2n^2\quad B=2mn\quad C=m^2+n^2$

Позволять$x$быть НОД$m,n$и разреши$p$и$q$быть кофакторами$m$и$n$соответственно. Тогда у нас есть

Если$GCD(m,n)=1$, затем$GCD(A,B,C)=1$и$(A,B,C)$является примитивной тройкой. Это значит, что$m$и$n$должны быть взаимно простыми для создания примитива.

Однако контрпример разрушает так называемое доказательство:$\quad\text{Let }m,n=7,3$.