Воспользуемся обозначениями из
http://mathworld.wolfram.com/DoubleSeries.html
Зафиксируем положительно определенную бинарную квадратичную формуд
данныйд( м , п ) = ам2+ б м н + сн2
,а , б , в
целые числа. Мы используем суммирование по набору индексов
Джзнак равно Z × Z - { ( 0 , 0 ) } .
Мы определяем
С( q; с ) = с( а , б , в ; с )С1( q; с ) =С1( а , б , в ; с )С2( q; с ) =С2( а , б , в ; с )С12( q; с ) =С12( а , б , в ; с )"="∑( м , п ) ∈ Jд( м , н)− с"="∑( м , п ) ∈ J( ам2+ б м н + сн2)− с ,"="∑( м , п ) ∈ J( − 1)мд( м , н)− с ,"="∑( м , п ) ∈ J( − 1)нд( м , н)− с ,"="∑( м , п ) ∈ J( − 1)м + пд( м , н)− с .
Последние три суммы являются «подкрученными версиями» первой суммы, «подкрутка» происходит за счет использования символа для первого параметра, для второго, для обоих. В нашем случае
д( м , п ) =м2+н2
, и
( а , б , в ) знак равно ( 1 , 0 , 1 )
, имеем симметричный случай (относительно замены
а ↔ в
).
мы бросимд
ниже из обозначений вС?( q, с )
, так как мы используем только приведенную выше квадратичную формуд
. Я решил во время операции редактирования, которая должна быстро привести нас к числам, которые мы можем вычислить, что для проверки лучше ввести версии.С+
для всех сумм, где плюсовой индекс указывает на дальнейшее ограничение на( м , п ) ∈ J
с
( + )м , п > 0 .
Из лок. цит. извлекаем следующие соотношения:
С( с )С12( с )С+( с )−С+12( с )С+( с ) -С+12( с )"="∑( м , п ) ∈ J(м2+н2)− с= 4 β( с )ζ( с ) , "="∑( м , п ) ∈ J( − 1)м + п(м2+н2)− с= - 4 β( с )η( с ) знак равно - 4 β( с )( 1 -21 - с)ζ( с ) . Тогда плюс версии:= β( с )ζ( с ) - ζ( 2 с ) , = β( с )η( с ) - η( 2 с )= β( с )( 1 -21 - с) ζ( с ) - ( 1 -21 − 2 с) ζ( 2 с ) , который дает= 2 β( с )( 1 -2− с) ζ( с ) - 2 ( 1 -2− 2 с) ζ( 2 с ) .
Теперь найдем линейную комбинацию вышеуказанных сумм, соответствующую суммированиюд( м , н)− с
по множествуК
из всех( м , н )
с положительной (составляющей) разной четности. Это
12( С+( с ) -С+12( с ) ) .
Пока мы можем написать:
β( с )( 1 -2− с) ζ( с ) - ( 1 -2− 2 с) ζ( 2 с )"="12( С+( с ) -С+12( с ) ) "="∑( м , п ) ∈ Км , п > 0д( м , н)− с= 2∑( м , п ) ∈ Км > п > 0д( м , н)− с= 2∑( м , п ) ∈ Км > п > 0д= ( м , п ) нечетноед( м , н)− с и с М= м / д, Н = н / д= 2∑д> 0 нечетноед− 2 с∑( М, Н) е КМ> Н> 0( М, Н) = 1д( М, Н)− с= 2 ( 1 -2− 2 с)ζ( 2 с )∑( М, Н) е КМ> Н> 0( М, Н) = 1д( М, Н)− с .
Выделенная сумма в последнем выражении и есть нужная нам сумма, возьмем ее за
с = 2
.
Значение, которое мы получаем:
β( 2 )ζ( 2 )2 ( 1 +2− 2) ζ( 4 )−12 "="6 Сπ2−12.
β( 2 ) ζ( 2 )2 ( 1 +2− 2) ζ( 4 )−12"="6 Сπ2−12.
гдеС
каталонская постоянная. Численно:
sage: E = catalan * zeta(2) / 2 / (1+2^-2) / zeta(4) - 1/2
sage: E.n()
0.0568403090661582
Мартин Р.
Нилотпал Синха
Сонджин Ким
пользователь 284001
Джерри Майерсон