Противоречие между теорией относительности и законом всемирного тяготения Ньютона?

А) Не относитесь слишком серьезно к закону Ньютона в релятивистском режиме.

Согласно закону Ньютона, когда он достигает горизонта событий, он должен двигаться со скоростью$c$, так как$c$скорость убегания на горизонте событий.

Это верно, если предположить, что частица свободно падает из состояния покоя на бесконечности, но детали сильно отличаются от ньютоновской теории. Для орбит в пространстве-времени Шварцшильда эффективный потенциал равен

$$V = -\frac{GM}{r} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ куда $l\equiv L/m$- удельный угловой момент орбиты. Последний член предлагает релятивистские поправки, не имеющие аналога в ньютоновской гравитации, поэтому в целом закон Ньютона нельзя учитывать, когда он находится вблизи горизонта черной дыры.

Но для радиального свободного падения$l = 0$, а мы полная орбитальная удельная энергия:

$$\mathcal{E} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 - \frac{GM}{r}\text{,}$$ которая имеет точно ньютоновскую форму. В частности, частица, свободно падающая из состояния покоя на бесконечности, будет иметь $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right| = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\text{,}$$ так при приближении к горизонту ( $r\to 2GM/c^2$), у нас есть $|\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau|\to c$, как и предсказывала ньютоновская теория.

Однако движение лишь приблизительно аналогично тому, что предписано законом Ньютона, потому что существуют очень важные различия в интерпретации этих величин. В частности, (1)$\tau$относится к собственному времени орбитальной частицы, а не к координатному времени$t$, и уж точно не какое-либо абсолютное время, как собственно ньютоновская теория, и (2)$r$относится к радиальной координате Шварцшильда, которая определяется таким образом, что сфера в этой координате имеет площадь поверхности$4\pi r^2$, и это не радиальное расстояние до центра.

Б) Координаты не имеют внутреннего значения.

Следовательно, после того, как он пройдет горизонт событий, он должен продолжать ускоряться за пределы$c$, но теория относительности утверждает, что этого никогда не произойдет.

Предположим, я бросаю частицу по прямой линейке, и эта линейка отмечена в футах. Так что если, например, моя частица проходит пять отмеченных единиц по линейке за наносекунду, это явно проблема, потому что частица должна быть сверхсветовой ($c\approx 1\,\mathrm{ft}/\mathrm{ns}$).

Теперь предположим, что линейка не отмечена в футах, и я не говорю вам, как она отмечена. Является ли проблемой то, что частица проходит пять единиц за наносекунду? Не зная, что это за метки, констатация такого рода "координатной скорости" даже не имеет смысла. Наконец, предположим, что я говорю вам, как отмечена линейка, но ее отметки на самом деле не измеряют расстояние вдоль линейки. Тогда есть ли проблема в том, что он проходит через пять из этих отметок за наносекунду?

Мораль проста: сами по себе координаты — это просто ярлыки для идентификации событий. Можно выбрать координаты так, что скорость координат будет произвольно большой или малой, и это не имеет значения, потому что координаты не являются физическими вещами. Вселенная не имеет собственных координат; это просто ярлыки, которые мы навешиваем на вещи.

Однако значение координат может придать метрический тензор , который связывает координаты с фактическими длинами или продолжительностями, так что, например, радиальная координата Шварцшильда имеет заданное значение с точки зрения площадей поверхности. Наконец, координаты Шварцшильда патологически вблизи горизонта. Они не определены по горизонтали (технически координаты Шварцшильда на самом деле представляют собой две совершенно разные карты координат, не связанные горизонтом). Вы можете увидеть это в метрике Шварцшильда (единицы$G = c = 1$):

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\,\mathrm{d}r^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2)\text{,}$$ где метрические коэффициенты в диаграмме Шварцшильда не определены на горизонте $r = 2M$.

В) «Итак, что будет делать объект в этом состоянии?»

Он пересечет горизонт событий и встретит свой конец в сингулярности.

Вот та же геометрия Шварцшильда в координатах Гульстранда-Пенлеве :

$$\mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}t^2 + \left(\mathrm{d}r + \sqrt{\frac{2M}{r}}\,\mathrm{d}t\right)^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2)\text{.}$$ В этой координатной карте пространство движется к сингулярности со скоростью недвижимого имущества $\sqrt{2GM/r}$, и частицы уносятся вместе с ним. В связанной диаграмме координат, координатах Леметра , частицы, свободно падающие из состояния покоя на бесконечности, имеют нулевую координатную скорость, с $\mathrm{d}r/\mathrm{d}t = 0$, где здесь $r$— радиальная координата Леметра. (Редактировать: исправлен пример, ошибочно приписывающий это свойство диаграмме GP.)

Вы можете выбрать любую диаграмму координат, которая хорошо ведет себя на горизонте, и любая такая диаграмма покажет, как она перемещается по горизонту без проблем. Но координаты Шварцшильда не дают такой карты, потому что они не определены на горизонте.