Пульсары: как астрономы измеряют минутные изменения периода (~ пикосекунды в год)?

Предположим, что пульсар вращается с постоянной скоростью. Так что у него есть период$P$и скорость изменения периода$dP/dt$это положительно и постоянно (на практике есть также вторые, третьи, четвертые и т. д. производные, о которых нужно беспокоиться, но это не меняет принципа моего ответа).

Теперь давайте предположим, что вы можете очень точно измерить период — скажем, вы смотрите на пульсар сегодня и измеряете его радиосигналы в течение нескольких часов, выполняете преобразование Фурье сигнала и получаете хороший большой пик с периодом 0,1 секунды (например, ).

С этим периодом вы можете «свернуть» данные, чтобы создать средний профиль пульса. Затем этот профиль импульса может быть взаимно коррелирован с последующими измерениями импульса для определения смещения между прогнозируемым временем «нулевой фазы» в профиле, рассчитанным с использованием периода 0,1 с, и фактическим временем нулевой фазы. Ее часто называют кривой «ОС» или кривой остатков.

Если у вас правильный период и$dP/dt=0$, то остатки будут случайным образом разбросаны вокруг нуля без тренда по мере того, как вы будете проводить все более поздние наблюдения (см. график (а) из Lorimer & Kramer 2005, The Handbook of Pulsar Astronomy). Если бы начальный период был ошибочным, то остатки сразу бы начали уходить от нуля по линейному тренду.

Если же период у вас правильный, но$dP/dt$положительна, то кривая невязок будет иметь форму параболы (см. график (б)).

Если у вас есть вторые, третьи и т.д. производные в периоде, то это соответственно повлияет на форму кривой остатков.

Кривая остатков моделируется для оценки размера производных$P$. Причина, по которой$dP/dt$может быть измерен настолько точно, что пульсары быстро вращаются и имеют повторяющиеся формы импульсов, поэтому изменения в фазе импульса быстро становятся очевидными и могут отслеживаться в течение многих лет.

Математически это работает примерно так. Фаза$\phi(t)$дан кем-то

$$\phi(t) \simeq \phi_0 + 2\pi \frac{\Delta t}{nP} - \frac{2\pi}{2}\frac{(\Delta t)^2}{nP^2} \frac{dP}{dt} + ...,$$ куда $\phi_0$- произвольный нуль фазы, $\Delta t$это время между первым и последним наблюдением и $n$— целое число полных оборотов, которые пульсар сделал за это время. Если период примерно правильный, то $n = int(\Delta t/P)$.

«Остаточная кривая» будет иметь вид

$$\phi_0 - 2\pi\frac{\Delta t}{nP} -\phi(t) \simeq \frac{2\pi}{2}\frac{(\Delta t)^2}{nP^2} \frac{dP}{dt} + ...,$$

Например, если период$P \sim 0.01$второй пульсар изменился на пикосекунду за год, то накопленный остаток составил бы почти$10^{-4}$секунд после 1 года наблюдения. В зависимости от того, насколько «острым» является пульс, этот сдвиг примерно на 1% в фазе импульса может быть обнаружен.

Возможно, нет необходимости говорить, но есть множество небольших эффектов и исправлений, которые необходимо внести, чтобы получить очень высокую точность синхронизации. Вы должны точно знать, как Земля движется по своей орбите. Сказывается и собственное движение пульсара по небу. Это и многое другое можно найти в книге Лоримера и Крамера, но здесь также есть краткое изложение .

Несмотря на мой комментарий, вот решение домашней задачи, которая выполняет расчет . В нем не указан точный механизм преобразования углового момента (также известного как энергия вращения) в электромагнитное излучение. В данном случае это просто постановка задачи (частично оправдываемая тем, что я сказал в своем комментарии: энергия должна откуда-то браться, и если никаких источников, кроме углового момента, вроде бы нет, то она должна быть исходя из углового момента).

Немного перефразируя содержание этой ссылки для обеспечения доступности в будущем:

Пульсар излучает энергию (которую мы наблюдаем в виде радиоволн). Поскольку вся энергия во Вселенной должна сохраняться, эта радиоэнергия должна откуда-то поступать. В этом случае она выводится из вращательной кинетической энергии пульсара: таким образом, он постепенно замедляется. Нас интересует связь между светимостью пульсара и периодом его вращения. В общем случае кинетическая энергия вращающегося тела определяется выражением

$$E=\frac{1}{2} I \omega^2 = 2\pi^2 I P^2.$$ Поскольку светимость является производной энергии по времени, теперь мы можем связать интересующие нас величины: $$L= \frac{\partial E}{\partial t} = -4\pi^2 I P^{-3} \frac{\partial P}{\partial t}.$$ Преобразование этого с точки зрения количества, которое мы хотим - скорость изменения периода - дает: $$\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{-L P^3}{4\pi^2 I}.$$ Если предположить, что эта нейтронная звезда представляет собой однородный шар (не совсем верно, а простое приближение), то ее момент инерции как раз равен: $$I_{\text{sphere}}=\frac{2}{5}M R^2,$$ и, таким образом, окончательная скорость изменения периода, которую мы получаем: $$\frac{\partial P}{\partial t} = -\frac{5}{8\pi ^2} \frac{L P^3}{MR^2}.$$

Итак, пока у нас есть измерения величин в правой части, мы можем просто подставить их, чтобы получить значение скорости изменения за период. Сложнее всего измерить обычно момент инерции (где масса,$M$, и радиус,$R$, термины взяты из). Их легче получить из затменных двойных систем, поскольку тогда между их орбитальными путями и массами существуют хорошие соотношения.