Путаница в отношении различных определений в определении сингулярных гомологии

Определяя сингулярные гомологии,

единственное число н -симплекс является непрерывным отображением о н от стандарта н -симплекс Δ н к топологическому пространству Икс . Нотативно пишут о н : Δ н → Икс . Это отображение не обязательно должно быть инъективным, и могут быть неэквивалентные сингулярные симплексы с одним и тем же образом в X.

Граница о н ( Δ н ) , обозначаемый как ∂ н о н ( Δ н ) , определяется как формальная сумма сингулярных ( н − 1 ) -симплексы, представленные ограничением о к лицу эталона н -simplex, с чередующимся знаком для учета ориентации. (Формальная сумма — это элемент свободной абелевой группы на симплексах. Базой группы является бесконечное множество всех возможных образов стандартных симплексов. Групповая операция — «сложение» и сумма образов '' а '' с изображением б обычно просто обозначается а + б , но а + а "=" 2 а и так далее. Каждое изображение а имеет отрицательный − а .) Таким образом, если обозначить диапазон о н по его вершинам

[ п 0 , п 1 , ⋯ , п н ] "=" [ о н ( е 0 ) , о н ( е 1 ) , ⋯ , о н ( е н ) ]

соответствующие вершинам е к стандарта н -симплекс Δ н (что, конечно, не полностью определяет стандартное симплексное изображение, создаваемое о н ), затем

∂ н о н ( Δ н ) "=" ∑ к "=" 0 н ( − 1 ) к [ п 0 , ⋯ , п к − 1 , п к + 1 , ⋯ п н ]

  1. Так и в единственном числе н -симплекс карта, в отличие от симплекса, который является геометрическим объектом?

  2. Про последнюю формулу и про ориентацию: почему мы должны чередовать знаки? Я предполагаю, что это связано с ориентацией, но я не могу понять, почему.

  3. О последних двух формулах: относится ли выражение, начинающееся с [ и заканчивающееся на ], к геометрическим объектам, таким как симплексы?

Скажем, у нас есть треугольник с вершинами А , Б , С идет против часовой стрелки. Вы ожидаете, что граница будет А Б → + Б С → + С А → "=" А Б → + Б С → − А С → . Если вы не будете чередовать знаки в данной формуле, вы получите Б С → + А С → + А Б → , что неправильно. Нарисуй картинку!
Теперь я как-то понимаю эту часть. Спасибо.
@wj32: На самом деле граница А Б → + Б С → − А С → , что не совсем то же самое, что А Б → + Б С → + С А → , с С А → ≠ − А С → . Но существует тесная связь между обратным симплексом и отрицанием симплекса, а именно: С А → − ( − А С → ) является границей, поэтому они равны на уровне гомологии. Конечно, изображение границы, идущей против часовой стрелки, все еще полезно, так как помогает запомнить правильные знаки ребер.

Ответы (1)

Да, единственное число н -симплексы являются картами. Мы эффективно пытаемся исследовать наши пространства с помощью карт из н -симплекс. Обратите внимание, что они топологически такие же, как твердые сферы, и их граница является сферой. Гомология пытается уловить идею о дырах в пространстве, и это вполне естественно. Мы хотим посмотреть, можем ли мы бросить сферу в пространство (в котором есть дыра) так, чтобы мы не могли заполнить внутреннюю часть сферы. Также важно различать карту (как мы ее бросили) и ее изображение — изображение может быть одним и тем же, но то, как мы его бросили, может быть другим.

Учитывая некоторое единственное число н -симплекс о , мы можем рассмотреть его ограничение на каждый из ( н − 1 ) -симплексы, составляющие его границу. Именно об этом говорится в формуле. Мы берем сумму этих ограничений (со знаком) и, следовательно, получаем формальную сумму ( н − 1 ) -симплексы, из которых мы хотим построить цепной комплекс.

Наконец, знак очень важен для нас, чтобы получить отмену, которую мы хотим. Вы видите это алгебраически, когда проверяете, что ∂ ∘ ∂ равен нулю, и, как указывает wj32, вы видите это геометрически, когда рассматриваете низкоразмерные примеры.

Путаница в отношении различных определений в определении сингулярных гомологии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v