Разница между «функциями» в исчислении и «функциями» в линейных преобразованиях

Question

Разница между «функциями» в исчислении и «функциями» в линейных преобразованиях

исчисление
функции
Математика
линейная алгебра
графические функции
линейные преобразования

Шашаанк

Слово функция в исчислении относится к чему-то вроде $f(x) = x^2+2x^3$ или $f(x) =\sin(x)$ и т. д....

В линейной алгебре слово « функция» используется так: «Линейное преобразование — это функция из $V \rightarrow W$ .

И функции исчисления, такие как $f(x) = x^2+2x^3$ или $f(x) =\sin(x)$ и т. д. на самом деле являются векторами либо в полиномиальном пространстве ( $f(x) = x^2+2x^3$ ) или функциональное пространство (например, $f(x) =\sin(x)$ ).

Теперь слово функция в линейной алгебре используется дважды, как я показал выше.

Так что, по моему мнению, функции исчисления — это просто векторы в линейной алгебре. Это правильно или нет.

Но тогда какие функции используются в определении линейных преобразований. И чем они отличаются от функций исчисления и функций , которые являются векторами в линейной алгебре.

Редактировать:

Почему график линейного преобразования из любого векторного пространства в любое другое векторное пространство не всегда представляет собой прямую линию. Кто-нибудь может привести встречные примеры.

Джейр Тейлор

Некоторые наборы функций можно превратить в векторные пространства, поэтому в этом контексте они являются векторами. Но в целом мы не думаем о функциях как о векторах. С другой стороны, линейные преобразования всегда являются функциями по определению.

Джейр Тейлор

В общем, для одного определенного

x

$x$ без контекста большего набора не имеет смысла говорить «является

x

$x$ вектор?" Вы можете сделать любой

x

$x$ в вектор, построив множество

S

$S$ который содержит

x

$x$ так что

S

$S$ является векторным пространством (например, свободным векторным пространством над

{x}

$\{x\}$ ).

Ответы (3)

Разница между «функциями» в исчислении и «функциями» в линейных преобразованиях

Некоторые наборы функций можно превратить в векторные пространства, поэтому в этом контексте они являются векторами. Но в целом мы не думаем о функциях как о векторах. С другой стороны, линейные преобразования всегда являются функциями по определению.
В общем, для одного определенного $x$ без контекста большего набора не имеет смысла говорить «является $x$ вектор?" Вы можете сделать любой $x$ в вектор, построив множество $S$ который содержит $x$ так что $S$ является векторным пространством (например, свободным векторным пространством над $\{x\}$ ).

complex_analys1s · Answer 1

complex_analys1s

Функция определяется как отношение между двумя наборами, которое отображает один элемент из одного набора точно в один из другого набора. Для вашего примера $f(x) = x^{2} + 2x^{3}$ , элемент $x$ в домене сопоставляется с элементом codomain $x^{2} + 2x^{3}$ .

В вашем примере линейной алгебры ваш домен обозначен $V$ и ваш кодовый домен обозначен $W$ .

Линейное преобразование — это особый тип функции, для которого требуется дополнительное ограничение: $f(cx + y) = cf(x) + f(y)$ . Оба являются примерами функций, но это ограничение, наложенное на линейные карты, может применяться или не выполняться для функций в целом.

Линейные преобразования можно изобразить в виде графика, но обычно они изображаются в виде векторных полей; график линейного преобразования не будет похож на вашу типичную функцию «один к одному» из исчисления.

Шашаанк

Итак, является ли «функция», используемая в линейном преобразовании, такой же, как функция

y = a x + b

$y=ax+b$ используется в исчислении и только равен или аналогичен именно этому ...

complex_analys1s

Не обязательно.

f (x) = m x + b

$f(x) = mx + b$ это функция, которая принимает одномерные входные данные (

x

$x$ ) и сопоставляется с линией в

R^{2}

$\mathbb{R}^{2}$ . Линейное преобразование сопоставляет векторы размерности больше единицы с некоторым кодовым доменом.

Джейр Тейлор

f (x) = m x + b

$f(x) = mx+b$ не является линейным преобразованием, если

b = 0

$b=0$ . Если

b \neq 0

$b\neq 0$ мы называем это «аффинным преобразованием». К сожалению, определение «линейный» в линейной алгебре не соответствует функциям, график которых представляет собой прямую линию, что может вызвать путаницу.

Шашаанк

@complex_analys1s Итак, если b = 0, то это линейное преобразование. Не могли бы вы сказать, между какими двумя точными векторными пространствами выполняется линейное преобразование. Это линейное преобразование из

R

$R$ к

R^{2}

$R^2$ . Не странно ли, что это одновременно и линейное преобразование, и вектор.

Шашаанк

@JairTaylor Можете ли вы привести пример, пожалуйста, или добавьте ответ, содержащий пример. Я думал, что график линейного преобразования всегда будет прямой линией. Я думал, что понял именно это из того, что Хоффман Кунц пишет в главе 3. Не могли бы вы привести несколько примеров или ответ, почему графики линейных преобразований не обязательно являются прямыми?

complex_analys1s

@Shashaank в этом случае, если

b = 0

$b=0$ затем

f (x)

$f(x)$ это просто масштабирование

x

$x$ элемент по

m

$m$ .

f (x) = m x + b

$f(x) = mx + b$ не является линейным преобразованием в контексте векторов, потому что вектор обычно имеет более одного измерения, и поэтому «преобразование» будет иметь матричное представление.

Джейр Тейлор

@Shashaank График линейного преобразования

R \to R

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ всегда прямая линия, так как она будет иметь форму

f (x) = m x

$f(x) = mx$ . Но обратное неверно.

f (x) = m x + b

$f(x) = mx + b$ не является линейным преобразованием для

b \neq 0

$b \neq 0$ .

Джейр Тейлор

@complex_analys1s Нет, дело не в размерности. Просто линейное преобразование должно удовлетворять

T (0) = 0

$T(0) = 0$ .

f (x) = m x

$f(x) = mx$ является линейным преобразованием

R \to R

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .

Шашаанк

@JairTaylor Хорошо, спасибо, я это понял. Так как

f (x) = m x

$f(x)= mx$ является линейным преобразованием

f (x) : R \to R, i s n^{'} t t h e f a c t t h a t

$f(x) : R\rightarrow R, isn't the fact that$ f(x)= mx$ также оказывается странным элементом векторного пространства (скажем, полиномиального пространства или функционального пространства). Не странно ли это в том смысле, что одно и то же — линейное преобразование и элемент векторного пространства.

Джейр Тейлор

Это не особенно странно. В математике любой объект можно рассматривать по-разному.

Шашаанк

@JairTaylor Хорошо, спасибо.

Джонни Эль Курвас · Answer 2

Короткий ответ: контекст имеет значение!

Слово «функция» встречается во многих (если не во всех) различных разделах математики, где общее качество состоит в том, что функция $f\colon X\to Y$ является отображением между множествами.

В исчислении мы часто думаем о функциях как об отображениях из подмножества $\mathbb{R}$ к $\mathbb{R}$ которые удовлетворяют некоторому условию регулярности (непрерывной, дифференцируемой, аналитической, измеримой, интегрируемой...), и иногда мы неявно предполагаем, что функция, о которой мы говорим, обладает этими желаемыми свойствами.

В линейной алгебре «функции», которые мы рассматриваем, представляют собой линейные карты из векторного пространства. $V$ в другое векторное пространство $W$ . Так что во многих случаях, если какое-то утверждение начинается с «Пусть $f\colon V\to W$ быть функцией», обычно это означает линейное отображение.

В топологии функция $f\colon X\to Y$ обычно означает непрерывное отображение между двумя пространствами.

Что касается того, что вы сказали: да, это правда, что функции $f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ являются абстрактными векторами некоторого пространства!

Итак, подведем итог: функция — это отображение между множествами, но в зависимости от контекста от этого отображения могут потребоваться дополнительные свойства.

В качестве примечания: некоторым людям нравится оставлять понятие «функция» для сопоставлений с доменом кода. $\mathbb{R}$ (или вообще поле) и называть все остальное "картой". Итак, линейное преобразование $f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ называется функцией, а линейное преобразование $f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$ можно назвать просто картой.

Изменить: скажите, что у вас есть $y=ax+b$ , где $a$ и $b$ являются действительными числами. Это уравнение определяет карту $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ данный $f(x)=ax+b$ . Эта карта является «функцией» в смысле исчисления (и у нее есть практически все свойства, которые вам нужны). Это также карта между векторными пространствами, но она может быть нелинейной (если $b\neq 0$ это не так), поэтому это не будет считаться «интересной функцией» между векторными пространствами (точнее, это аффинная карта).

Тем не менее, это вектор многих векторных пространств: например, он находится в следующих пространствах:

В "=" {Многочлены от одной переменной}

$V=\{\text{Polynomials in one variable}\}$

Вт "=" {Сопоставления из р самому себе}

$W=\{\text{Mappings from } \mathbb{R} \text{ to itself}\}$

Ф "=" {Аффинные карты из р самому себе}

$F=\{\text{Affine maps from }\mathbb{R}\text{ to itself}\}$

Но тогда $y= ax+b$ функция в смысле исчисления или вектор в смысле линейной алгебры или это линейное преобразование. Я получил ваши баллы. Этот конкретный пример прояснит все моменты. Пожалуйста, включите этот ответ и в ваш ответ, я приму его.
Спасибо, я понял вашу мысль. Я проголосовал за приведенные вами примеры. Только одно. Если в $y=mx+b$ $b=0$ , то это линейное преобразование. Если это так, не могли бы вы, пожалуйста, дайте мне знать, между КАКИМ векторным пространством это линейное преобразование. И если это линейное преобразование, то оно ведет себя как линейное преобразование, так и как вектор. Могут ли функции быть как линейным преобразованием, так и вектором. Не могли бы вы, пожалуйста, сообщить мне эти 2 пункта, это полностью развеет мои сомнения, и я приму ответ.
Я имею в виду, не странно ли, что функция ведет себя и как вектор, и как линейное преобразование между двумя векторными пространствами (если это оба). Пожалуйста, дайте мне знать эти 2 пункта.
относительно первой части 1 я имел в виду, если это функция от R до $R^2$ или то, что вы иначе написали. А в приведенном выше комментарии Джейр Тейлор говорит, что график линейного преобразования не всегда является прямой линией. Не могли бы вы привести пример. Потому что я думал, что так должно быть всегда, и я понял это только из того, что Хоффман Кунц сказал по этому поводу в главе 3. Не могли бы вы привести контрпримеры, если это неправильно?
не могли бы вы уточнить эту функцию $y= mx$ ведет себя как векторное, так и линейное преобразование. Это верно. Может ли функция быть как вектором (элементом векторного пространства), так и линейным преобразованием.
Это и то, и другое, но в зависимости от того, что вы делаете, может быть удобнее видеть $y=mx$ как вектор или как линейное преобразование.

зкутч · Answer 3

Обычно функция $f=(F,A,B)$ определяется тройкой, где $A$ , $B$ наборы, $F$ является функциональным графом и областью $pr_1F=A$ .

Разница между «функциями» в исчислении и «функциями» в линейных преобразованиях

Шашаанк

Джейр Тейлор

Джейр Тейлор

Ответы (3)

complex_analys1s

Шашаанк

complex_analys1s

Джейр Тейлор

Шашаанк

Шашаанк

complex_analys1s

Джейр Тейлор

Джейр Тейлор

Шашаанк

Джейр Тейлор

Шашаанк

Джонни Эль Курвас

Шашаанк

Джонни Эль Курвас

Шашаанк

Шашаанк

Шашаанк

Шашаанк

Джонни Эль Курвас

Шашаанк

зкутч

Неужели нельзя сделать эту функцию?

вращайте спираль, используя уравнения вращения (Rz и Rx)

Как называется недоступная часть кода домена функции?

Какое значение нужно присвоить k, чтобы h было непрерывным?

Почему здесь не работает упрощенный метод проверки дифференцируемости?

Упражнение с простой квадратичной функцией

2-D матрица перевода

3blue1brown визуально делает композицию линейных преобразований

Матрица преобразования для вращения вокруг произвольной оси

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: добавление решений?