Разрешено ли определение (nr)(nr)\binom{n}{r} с учетом r>nr>nr>n?

Обычное соглашение состоит в том, что биномиальные коэффициенты, которые «выходят за пределы допустимого диапазона», равны нулю.

Но есть еще одна условность. Если$k$целое неотрицательное число, то

$$\binom{n}k=\frac1{k!}n(n-1)\cdots(n-k+1)$$ для целых чисел$n\ge k$. Таким образом, мы могли бы определить$\binom{x}k$как многочлен $$\binom{x}k=\frac1{k!}x(x-1)\cdots(x-k+1)$$ степени$k$. Его нули$0,1,\ldots,k-1$.

С любой конвенцией,$\binom 34=0$.

Для$n\ge0$,$\binom{n}{r}$это число размер-$r$подмножества$\{1,\,\cdots,\,n\}$, невзирая на$r$. Если$0\le r\le n$, мы можем доказать

$$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}=\frac{\prod_{j=n-r+1}^nj}{r!}.$$ Мы можем сохранить это в расширении для$n<0$, а именно $$\binom{-m}{r}:=(-1)^m\binom{m+r-1}{r}=(-1)^m\binom{m+r-1}{m-1}$$ для$m:=-n>0$. В частности, это ненулевое тогда и только тогда, когда$r\ge0$. Но чтобы объединить эти случаи, мы можем определить$\binom{n}{r}$в целом как$x^r$коэффициент в$(1+x)^n$, согласно обобщенной биномиальной теореме : $$\binom{n}{r}:=[x^r](1+x)^n=[x^{-1}]\frac{(1+x)^n}{x^{r+1}}=\oint_{|z=1|}\frac{(1+z)^ndz}{2\pi iz^{r+1}}.$$

Лично я считаю, что лучше всего определять с помощью функции Гамма, т.е.

$${}_x \mathrm{C}_y=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1)\Gamma(x-y+1)}$$ Так как это заботится об «отрицательном факториале». Серьезно$\alpha$и целое число$k$, Википедия цитирует $${}_\alpha \mathrm{C}_k = \frac{\operatorname{Fact}(\alpha,k,\downarrow)}{k!}$$ С$\operatorname{Fact}(\alpha,k,\downarrow)$являющийся падающим факториалом, $$\operatorname{Fact}(\alpha,k,\downarrow)=\prod_{j=0}^{k-1}(\alpha-j)$$ Но легко видеть, что это всегда$0$если$\alpha \in \mathbb{N}$и$k>\alpha$.

Если вы интерпретируете$\binom n r$комбинаторно как количество подмножеств мощности$r$в наборе мощностей$n,$то выражение определено только тогда, когда$n$и$r$являются мощностями, таким образом, в$\{0,1,2,3,\ldots\}$(где тот набор, который указан в$\{\text{braces}\}$включает или не включает мощности бесконечных множеств в зависимости от того, что вы хотите сделать). В таком случае$\binom n r=0$когда$r>n$потому что количество подмножеств мощности$r$в наборе мощностей$n$является$0$в таком случае.

Эти выражения также используются при разложении степеней двучленов, когда показатель степени не является целым числом:

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^\infty \binom n k x^k y^{n-k} \quad \text{if either } n\in\{0,1,2,\ldots\} \text{ or } \left| \frac x y \right| <1$$ где $$\binom n k = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!} \\ \text{ and $n$ need not be an integer and need not be positive.}$$ В этой биномиальной теореме тождество$\dbinom n k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$не выполняется, если факториалы определены только для неотрицательных целых чисел. Если$\ge0,$тогда все еще можно определить факториалы следующим образом: $$r! = \int_0^\infty x^r e^{-x}\,dx.$$ Идея$\dfrac 1 {(-1)!}=0$может иметь смысл, если аналитически продолжить это определение факториала, а затем истолковать выражение как означающее$\displaystyle \lim_{r\,\to\,-1} \frac 1 {r!}.$Вам даже не нужна концепция аналитического продолжения, чтобы сделать это, если вы используете тождество$r!(r+1) = (r+1)!$для определения факториалов отрицательных нецелых чисел.

А для отрицательных целых значений$n,$можно сказать$n!=\infty$при условии, что это означает ни то, ни другое$+\infty$ни$-\infty$а скорее$\infty$то есть на обоих концах реальной линии.

Для интегральных (даже комплексных)$n$и интеграл$r$справедливо следующее определение:

$$\begin{align*} \binom{n}{r}= \begin{cases} \frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n^{\underline{r}}}{r!}&\quad r\geq 0\\ 0&\quad r<0 \end{cases} \end{align*}$$

См., например, формулу (5.1) в главе «Биномиальные коэффициенты конкретной математики» Д. Е. Кнута, Р. Л. Грэма и О. Паташника.