Есть ли какие-либо силовые идентичности, которые не принадлежат этому списку?

Задача нахождения разложений мономов, биномов и т. д. является классической, и уже найдено много красивых решений, наиболее яркими примерами являются

Биномиальная теорема, Википедия .

Для каждого $(a,b,n)\in\mathbb{N}$

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k},$$ а для мономов можно записать как $$m^n=\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{k}\binom{k}{j}(-1)^{k-j}m^j.$$

Это также следует тождеству биномов с коэффициентом падения.

$$(x+y)^\underline{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^\underline{k} y^\underline{n-k}$$

Полиномиальная теорема, Википедия . (частичный случай)

Для каждого $(m,n)\in\mathbb{N}$

$$m^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}},$$ где${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$Мультиномиальный коэффициент.

Формула Фаульхабера, arXiv , стр. 9-10.

Для каждого $(m,n)\in\mathbb{N}$

$$n^{2m-1} = \sum_{k=1}^{m} (2k-1)!T(2m,2k) \binom{n+k-1}{2k-1},$$ где$T(2m,2k)$являются центральными факторными числами .

Идентификация Ворпицки, https://eudml.org/doc/148532 .

Для каждого $(m,n)\in\mathbb{N}$

$$m^n = \sum_{k=0}^{n} E_{n,k} \binom{m+k}{n},$$ где$E_{n,k}$являются числами Эйлера .

Тождество между числами Стирлинга второго рода и падающим факториалом

Для каждого $(x,n)\in\mathbb{N}$

$$x^n=\sum _{{k=0}}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k},$$ где$\left\{{n \atop k}\right\}$являются числами Стирлинга второго рода и$(x)_{k}$Падающий факториал .

Также один хороший пример можно найти в Wolfram Mathworld, так называемый

Двойная биномиальная сумма Макмиллана, Wolfram MathWorld, "Power", экв. 12 .

Для каждого $(x,n)\in\mathbb{N}$

$$x^n=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}\binom{k}{j}\binom{x}{k}j^n.$$

Подтверждение личности Макмиллана обсуждается здесь .

Результат ответа на вопрос 2669237 .

$$m^n=\sum_{\mathbf{k}\in {\cal K}_m^n}\frac{m!n!}{\displaystyle\prod_{i\ge0}(i!)^{k_i}k_i!},$$ см. ссылку в заголовке для пояснений.

Восходящие основания и экспоненты в треугольнике Паскаля, разрубите узел .

$$(n+1)^j=\frac{j!\prod_{k=0}^j\binom{n+k}{k}}{\prod_{k=0}^{j-1}\binom{n+1+k}{k}}$$

Личность Паскаля, arXiv .

$$(n+1)^{k+1}-1=\sum_{m=1}^{n}[(m+1)^{k+1}-m^{k+1}]=\sum_{p=0}^{k}\binom{k+1}{p}(1^p+2^p+\cdots+n^p),$$

---

Вопрос: Есть ли еще какие-то силовые идентификаторы, которых нет в списке выше?