Симметрия тензора напряжений Коши 3 × 33 × 33 \ умножить на 3 [дубликат]

Говоря о тензоре напряжений Коши в классической механике, ответ на ваш первый вопрос заключается в том, что это не имеет значения, поскольку у вас есть метрика в произвольных координатах, индуцированная скалярным произведением основного евклидова пространства.

Вы можете использовать симметрию тензора напряжений Коши из баланса углового момента, предполагая отсутствие парных напряжений, то есть источников углового момента. Доказательство часто проводится путем тестирования тяги.$\sigma_{ij} n_j$по произвольному полю$\phi_i$и используя балансы линейного и углового количества движения. Например, вы можете изучить$\epsilon_{imn}x_n \sigma_{ij} n_j$как это сделано в статье о принципе напряжения Эйлера-Коши в Википедии . Таким образом, вы можете подать заявку$\sigma(A, B)$к$n$и какое бы количество ни имело смысл умножать его на силу. Я не думаю, что какое-то интуитивное утверждение можно привести в форму.$\sigma(A,B)=\sigma(B,A)$.

С другой стороны, в Gurtin, ME: An Introduction to Continuum Mechanics (доказательство теоремы Коши, глава V, раздел 14) тяга проверяется бесконечно малым жестким смещением и балансом углового и линейного количества движения (в форме теоремы о виртуальной работе с вышеупомянутым смещением ) используется. Затем после некоторых манипуляций вы получаете$\sigma_{ij}W_{ij}=0$для всех$W$перекос, где$W$– градиент деформации этого смещения.

Чтобы сделать его более интуитивным, просто учтите, что$\sigma_{ij}\mathbf{v}_{i,j}$работа, совершаемая внутренними поверхностными силами. Такая работа не может быть выполнена с помощью жестких движений, когда$\mathbf{v}_{i,j}$является косым. Следовательно$\sigma$должны быть симметричны.

Ответ на ваш первый вопрос заключается в том, что все возможные интерпретации в порядке. В классической механике сплошных сред евклидова метрика позволяет однозначно выполнять перевод между векторами и ковекторами, поэтому оба$n$а также$t_n$может быть. Выбор типа для «входа» и «выхода» затем определяет тип тензора, которым будет энергия напряжения.

В более общих условиях это также верно: говорить о тензорной симметрии требует указания метрики, и в этом случае векторы и ковекторы могут быть однозначно идентифицированы. Если метрики нет, единственный способ говорить о тензорной симметрии — рассматривать тензоры как полилинейные формы.

Обычно вы бы выбрали оба$n$а также$t$(позвольте мне бросить${}_n$) быть векторами, и в этом случае тензорное тождество$t=Sn$покомпонентно читается как$t^i=S^i_{\phantom{i}j}n^j$, а также$S$следует рассматривать как линейный оператор из$E^3$сама себе и симметрична в том смысле, что$\langle u,Sv\rangle=\langle Su,v\rangle$для всех$u,v\in E^3$, куда$\langle\cdot,\cdot\rangle$является евклидовой метрикой в$E^3$.

Однако этот тип симметрии заставляет некоторых людей нервничать. В этом случае может помочь прием$n$быть вектором и$t=Sn$быть ковектором, и в этом случае$t_i=S_{ij}n^j$, а симметрия$S$покомпонентно$S_{ij}=S_{ji}$. Здесь$S$следует рассматривать как симметричную билинейную форму$S(v,n)=S(n,v)$, заданный$S(v,n)=(Sn)(v)=t(v)=t_iv^i=v^iS_{ij}n^j$.

Таким образом, суть в том, что симметрия может быть любого типа, который вы хотите, если вы правильно выбираете входные и выходные типы (ко)вектора.