Сила напряжения — понимание тензора напряжения Коши

как на Земле.....? Возможный способ взглянуть на это выглядит так, давайте рассмотрим длину небольшого куба.$l$, то сила напряжения в$i$направление, действующее на$j$элемент поверхности$-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)*dA$где$dA=l^2$. Сила в$i$направление, действующее на другой элемент поверхности, параллельное первому, равно$\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)*dA$, поэтому общая сила напряжения, действующая в$i$направление

$$(\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k))*dA$$ Теперь разделите на элемент объема$dV=dx_idx_jdx_k$и рассмотреть$dA=dx_idx_k$чтобы получить $$f_i^{(j)}=\frac{\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)}{dx_j}=\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial x_j}$$ Тогда общая сила на единицу объема в$i$направление задается вашим желаемым уравнением

Я опоздал на 7 лет, но все равно отвечу, надеясь быть полезным кому-то еще.

Примечание: я не буду использовать полосу для скаляров, одну полосу для векторов (шляпа для версоров) и две полосы для тензоров (для краткости, когда я говорю «тензор», я всегда буду иметь в виду «тензор ранга 2», но, конечно, скаляры и векторы тоже тензоры).

Введение

Сохранение импульса обычной жидкости (независимо от того, является ли она сжимаемой, вязкой и т. д.) выражается уравнением Коши:

$$\begin{equation} \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f} = \frac{\partial (\rho \bar{v})}{\partial t} + \nabla \cdot \bar{\bar{F}} \tag{1} \end{equation}$$ Немного страшно! Но если вы хотите потратить время и энергию на изучение того, что я пишу, я хорошо объясню вам значение каждого термина и почему это уравнение представляет собой сохранение импульса в континууме. Стоит изучить уравнение Коши, потому что оно является отправной точкой для достижения уравнения Эйлера (не спрашивайте меня, как получилось, что Эйлер умер до рождения Коши) и уравнения Навье-Стокса (это уравнение определено Ценгелем-Стоксом). Цимбала как краеугольный камень гидромеханики, а изучение ее решений — одна из семи так называемых «проблем тысячелетия»).$\rho$и$\bar{v}$плотность и скорость, другие термины будут определены в следующих разделах.

Определение 1: тензор напряжений$\bar{\bar{\sigma}}$

Первая проблема состоит в том, чтобы найти способ математически описать силы, действующие в континууме. Идея состоит в том, чтобы предположить, что для каждой бесконечно малой воображаемой поверхности$d\bar{A}$внутри континуума существует тензорное поле ранга 2$\bar{\bar{\sigma}}$такой, что$\bar{\bar{\sigma}} \cdot d\bar{A}$это сила$d\bar{F}$что «верхняя» сторона континуума (та, что содержит крошечный вектор$d\bar{A}$) действует с другой стороны. Если вы впервые имеете дело с тензором напряжений, вас может немного оттолкнуть этот абстрактный объект: ведь мы обычно говорим о силах, действующих между разными телами, а здесь у нас есть крошечная поверхность в континууме, и эта поверхность не делит тело на две части. Но если вы немного подумаете, то увидите, что это не проблема: вы не можете вырезать внутри пульпы крошечную поверхность и измерить силы, действующие между двумя сторонами, но это не значит, что силы внутри континуума не имеют значения. В настоящее время они существуют, и это разумный способ их описания. Но на самом деле это так? Я имею в виду, что еще одно недоумение может быть следующим: кто гарантирует, что закон

$$\begin{equation} d\bar{F} = \bar{\bar{\sigma}} \cdot d\bar{A} \tag{2} \end{equation}$$ правильно описать реальность? Ну... как это часто бывает в физике, мы пробуем с более простой гипотезой (и часто природа помогает нам, потому что более простая гипотеза работает).$d\bar{F}$является функцией$d\bar{A}$(и мы предполагаем, что она пропорциональна$dA=|d\bar{A}|$), и зависимость типа$d\bar{F} = k d\bar{A}$исключается, потому что, как вы можете догадаться (подумайте о кручении) и, как мы увидим позже, вообще$d\bar{F}$и$d\bar{A}$может иметь разное направление. Таким образом, линейный закон (2) является самым простым, который мы можем использовать. Я не могу доказать существование тензора напряжений, я просто предполагаю, что (2) работает. Апостериори мы можем обосновать (2), заметив, что с другими гипотезами оно приводит к уравнению Навье-Стокса, которое имеет некоторые экспериментальные подтверждения.

Симметрия тензора напряжений

мы рассмотрим$\bar{\bar{\sigma}}$симметричным, потому что мы будем использовать уравнение Коши при нахождении уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса, и в этих контекстах тензоры напряжений симметричны по построению. Так что у нас нет проблем, и мы можем использовать расширенную теорему о расходимости (см. ниже). Во всяком случае в книгах я читал, что симметрия имеет более глубокое происхождение и что для нее можно сделать общее доказательство. Честно говоря, я не понял этих доказательств, потому что они работают, используя вращательное равновесие, не оправдывая его, но нам не нужно здесь углубляться, если нашими конечными целями являются уравнение Коши, уравнение Эйлера и уравнение Навье-Стокса.

Короче говоря, симметрия тензора напряжений необходима для написания уравнения Коши и его применения (в котором используется слишком расширенная теорема о дивергенции), но это не является для нас большой проблемой: на самом деле мы всегда будем иметь дело с симметричными тензорами напряжений, поэтому наши соображения об этих проблемах остановимся здесь.

Определение 2: вектор$\bar{f}$

$\bar{f}$вектор, умноженный на плотность$\rho$дает плотность объемных сил (сил, действующих через объем тела, в отличие от контактных сил)

$$\begin{equation} \rho \bar{f} = \frac{d\bar{F}_{body}}{dV} \tag{3} \end{equation}$$ Обратите внимание, что$\bar{g}\rho = \bar{g}\frac{dm}{dV}=\frac{\bar{g}dm}{dV}=\frac{d\bar{F}_{grav}}{dV}$где$d\bar{F}_{grav}$это сила, действующая под действием силы тяжести на рассматриваемую часть жидкости: обычно сила тела возникает из-за силы тяжести, и мы можем определить$\bar{f}$с гравитационным полем. Лучше всего сейчас это сделать, чтобы не отвлекаться на вещи, которые здесь не существенны (во всяком случае, я буду продолжать использовать более общий$\bar{f}$символ: объемные силы также могут иметь электромагнитное происхождение или быть связаны с тем, что мы не находимся в инерциальной системе).

Определение 3: поток массы и поток импульса$\bar{\bar{F}}$

Поскольку мы можем определить векторное поле$\bar{J}$(вероятно, читатель с ним уже знаком), описывающий поток массы, т. е. определяемый таким образом, что

$$\begin{equation} \bar{J} \cdot d\bar{A} = \frac{dm}{dt} \qquad \textrm{($dm$ = mass through $d\bar{A}$ in its direction during $t\to t+dt$)} \tag{4} \end{equation}$$ аналогично мы можем определить тензорное поле$\bar{\bar{F}}$(менее знаю), который описывает поток импульса, т.е. определяется таким образом, что $$\begin{equation} \bar{\bar{F}} \cdot d\bar{A} = \frac{d\bar{p}}{dt} \qquad \textrm{($d\bar{p}$ = momentum through $d\bar{A}$ in its direction during $t\to t+dt$)} \tag{5} \end{equation}$$ В отличие от того, что было сделано с тензором напряжений, я могу доказать существование$\bar{\bar{F}}$найду, сделаю позже.

Доказательство того, что$\bar{J}=\rho\bar{v}$

Объем жидкости, проходящий через$d\bar{A}$во время$dt$есть (если$d\bar{A}$мала и игнорирует бесконечно малые объемы более высокого порядка) произведение$v dt$раз затененная поверхность на рисунке, то есть$dA \cos \theta$где$\theta$это угол между$\bar{v}$и$d\bar{A}$.

Мы заключаем, что масса через$d\bar{A}$во время$dt$является,$dm = \rho v dA \cos \theta dt = \rho \bar{v} \cdot d\bar{A} dt$. С учетом (4) доказательство закончено.

Антракт: некоторые условности

Чтобы продолжить, лучше ввести некоторые соглашения и обозначения. В декартовых координатах внешнее произведение двух векторов по определению является тензором

$$\begin{equation}\tag{6} \bar{A} \otimes \bar{B} = \begin{pmatrix} A_x B_x & A_x B_y & A_x B_z \\ A_y B_x & A_y B_y & A_y B_z \\ A_z B_x & A_z B_y & A_z B_z \end{pmatrix} \end{equation}$$ Я добавляю, что при выполнении расчетов удобно записывать векторы в их «естественном» виде в виде столбцов, и что внутреннее (обычное скалярное произведение) и внешнее произведение можно выгодно рассматривать как матричное произведение, такое что

• в скалярном произведении мы транспонируем член в первый член

• во внешнем произведении переставляем второй член

Вы не можете протестовать, это определения, это грамматика, с помощью которой я буду писать уравнения. Обратите внимание, что (6) можно рассматривать как$\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_x & B_y & B_z \end{pmatrix}$, и вы можете легко понять, почему соглашение работает с внутренним (то есть точечным) произведением. Мы всегда будем иметь дело с симметричными тензорами (их представлением будет симметричная матрица), поэтому транспозицией тензоров в дальнейшем можно пренебречь (но важна транспозиция векторов).

Доказательство того, что$\bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \otimes \bar{v}$

Давайте рассмотрим$\bar{J}=\rho\bar{v}$доказательство. Как видно, масса через$d\bar{A}$во время$dt$является$\rho \bar{v} \cdot d\bar{A} dt$. Умножая на$\bar{v}$я нахожу импульс$d\bar{p} = \rho (\bar{v}\cdot d\bar{A}) dt \bar{v}$. Наблюдение (5) и наш тезис$\bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \otimes \bar{v}$, мы видим, что для завершения доказательства нам нужно доказать, что

$$\begin{equation} (\bar{v} \cdot d \bar{A}) \bar{v} = (\bar{v} \otimes \bar{v}) \cdot d\bar{A} \end{equation}$$ то есть $$\begin{equation} \left[ \begin{pmatrix} v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dA_x \\ dA_y \\ dA_z \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x v_x & v_x v_y & v_x v_z \\ v_y v_x & v_y v_y & v_y v_z \\ v_z v_x & v_z v_y & v_z v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dA_x \\ dA_y \\ dA_z \end{pmatrix} \end{equation}$$ Например, вы можете сосредоточиться на$x$компонент и убедитесь, что это идентификатор.

Расширенная теорема о расходимости

Везде в книгах, на сайтах, на ютубе и т.д. до тошноты говорят об обычной теореме о дивергенции, но почти никто не говорит о расширенной, почти столь же важной. Этим летом я нашел ее в книге Сенгеля-Чимбалы (у которой я украл это название, я называл ее «альтернативной теоремой о дивергенции»), и я нахожу странным, что ей не уделяется должного внимания в литературе. Если вам интересно, вы найдете доказательство в моем ответе Stack Exchange на вопрос «Как электрическое или магнитное поле содержит импульс»? Теорема утверждает, что для симметричного тензорного поля$\bar{\bar{M}}$определяется внутри объема$V$ограниченный поверхностью$S$, имеем (обратите внимание, что с обеих сторон у нас есть векторы)

$$\begin{equation} \int_V (\nabla \cdot \bar{\bar{M}}) d V = \oint_S \bar{\bar{M}} \cdot d \bar{A} \tag{7} \end{equation}$$

Доказательство уравнения Коши

Рассмотрим порцию жидкости$V$(не обязательно маленький). Чистая сила, действующая на него со стороны жидкости вокруг, равна$\bar{F}_{net} = \oint_S d \bar{F}_{sup}$где$S$это поверхность, ограничивающая$V$и$d\bar{F}_{sup}$силы, действующие на бесконечно малую поверхность, которые заставляют$S$. Используя определение тензора напряжений, данное ранее, мы пишем$\bar{F}_{net} = \oint_S \bar{\bar{\sigma}} \cdot d \bar{A} = \int_V \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} dV$, где я использовал (7) (как сказано, я буду использовать только симметричный тензор напряжений, поэтому я могу его использовать). Обратите внимание, что$\nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}}$это краткое обозначение

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \end{equation}$$ $\rho \bar{f} dV$- объемная (не контактная) сила, действующая на элементарный объем, поэтому сумма объемных сил определяется выражением$\int_V \rho \bar{f} dV$. Делаем вывод, что полная сила на$V$можно записать таким образом: $$\begin{equation} \int_V ( \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f}) dV \end{equation}$$ Он должен быть равен$\frac{d\bar{p}}{dt}$, который имеет два термина. С одной стороны, видимо$\rho \bar{v}$есть плотность импульса, поэтому у нас есть термин$\frac{d}{dt} \int_V \rho \bar{v} dV = \int_V \frac{\partial(\rho \bar{v})}{\partial t} dV$. С другой стороны, мы должны учитывать импульс, который в интервале$t \to t + dt$, проходит через поверхность, огибающую объем. Мы видели это$\frac{d\bar{p}}{dt} =\bar{\bar{F}} \cdot d\bar{A}$(по определению con импульсный поток$\bar{\bar{F}}$), так$\frac{d\bar{p}}{dt} = \int_S \bar{\bar{F}} \cdot d \bar{A} = \int_V \nabla \cdot \bar{\bar{F}} dV$, где мы снова использовали (7) (тензор$\rho \bar{v} \otimes \bar{v}$очевидно симметричен, см. определение внешнего произведения выше). Собрав все вместе, мы можем написать$\int_V \left( \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f} - \frac{\partial (\rho \bar{v})}{\partial t} - \nabla \cdot \bar{\bar{F}} \right) dV=0$. Уравнение должно быть верным для каждого$V$поэтому подынтегральная функция равна нулю, и уравнение Коши доказано.

Производная материала

Определим материальную производную как оператор (символ$\otimes$объясняется выше: не беспокойтесь об этом слишком сильно, теперь вам просто нужно управлять им как четко определенным оператором, чтобы иметь более короткие уравнения, узнать, что он делает )

$$\begin{equation} \frac{D}{Dt} = \frac{\partial }{\partial t} + \bar{v} \cdot \nabla \otimes \tag{8} \end{equation}$$ Обычно символ$\otimes$опущен в материальных производных, но я считаю, что лучше написать его явно, чтобы не противоречить введенному ранее соглашению и подчеркнуть, что в$\nabla \otimes \bar{v}$колонка$\bar{v}$необходимо транспонировать, чтобы получить тензор ранга 2. Можно было бы многое сказать о материальной производной, которая является мостом между лагранжевой и эйлеровой точками зрения при описании жидкостей и может быть использована для доказательства уравнения Коши с использованием непосредственно второго закона Ньютона, но я не могу преобразовать ответ в книгу, и если ваша цель состоит в том, чтобы записать уравнение Коши в более компактной форме, вы можете взять материальную производную в качестве удобного определения для написания более коротких формул.

Обратите внимание, что с правилами о внешнем произведении, написанными выше, и помня, что$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y} , \frac{\partial}{\partial z} \right)$, у нас есть это

$$\begin{equation} \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} = \begin{pmatrix} v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{ \partial v_x}{ \partial x} & \frac{ \partial v_y}{ \partial x} & \frac{ \partial v_z}{ \partial x} \\ \frac{ \partial v_x}{ \partial y} & \frac{ \partial v_y}{ \partial y} & \frac{ \partial v_z}{ \partial y} \\ \frac{ \partial v_x}{ \partial z} & \frac{ \partial v_y}{ \partial z} & \frac{ \partial v_z}{ \partial z} \end{pmatrix} \end{equation}$$ т.е. каждая компонента этого вектора представляет собой сумму трех членов.

Укороченная версия уравнения Коши

Альтернативный более короткий способ написать уравнение Коши:

$$\begin{equation} \frac{D \bar{v}}{Dt} =\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \bar{f} \tag{9} \end{equation}$$ где я использовал материальную производную, написанную выше. Используя (8) и сравнивая с (1), мы видим, что для доказательства того, что (1) и (9) совпадают, мы должны доказать, что следующее уравнение является тождеством $$\begin{equation} \dot{\rho} \bar{v} + \nabla \cdot \bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} \tag{10} \end{equation}$$ Использование уравнения непрерывности$\dot{\rho} = - \nabla \cdot (\rho \bar{v})$мы можем записать (10) таким образом $$\begin{equation} \nabla \cdot \bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} + (\nabla \cdot (\rho \bar{v}) ) \bar{v} \end{equation}$$ Теперь подумайте, что$\bar{\bar{F}}$можно рассматривать как внешнее произведение вектора$\rho \bar{v}$с вектором$\bar{v}$, поэтому, чтобы закончить проф, мы должны показать, что верно следующее тождество $$\begin{equation} \nabla \cdot (\bar{A} \otimes \bar{B}) = \bar{A} \cdot \nabla \otimes \bar{B} + ( \nabla \cdot \bar{A} ) \bar{B} \end{equation}$$ Если вы выучили определения операторов в «антракте» выше, то проверка этого тождества длинная, но не сложная, как может показаться, глядя на него (обратите внимание, что в среднем термине нет скобок, но получается, что порядок безразличен ), поэтому (9) доказано.

Сделаем это в 1D для простоты: вы считаете участок нити длиной$dL$и раздел$S$, с чистой плотностью объемной силы$f$, сказать$f=\rho S g$где$\rho S$– линейная массовая плотность. На$dL$, у вас же стресс от остальных тредов, которые$T_+ = \sigma_{zz} (z+dL) S$в$z+dL$конец и$T_- = -\sigma_{zz}(z) S$на другом конце.

Так:$\rho S a_z dL = T_+ + T_- + f dL$. Поделить на$dL$и установите его на 0, чтобы восстановить$\partial_z \sigma_{zz}$срок.

Вспомним теорему Гаусса о расходимости , согласно которой:

$$\sum_j \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}dV = \sigma_{ij}dS_j$$

Поэтому уравнение равновесия уже не является загадочным, а сумма сил есть внутренние силы$F_{int,i} = f_i\text{d}V$плюс силы, приложенные к поверхности$F_{sup,i} = \sigma_{ij}\text{d}S_j$:

$$F_{int,i} + F_{sup,i} = \rho a_i\text{d}V = \text{d}m\ a_i$$

Чтобы понять, почему компоненты тензора напряжений можно понимать как силы на поверхности, необходимо только задуматься над этим представлением:

Статья в Википедии о стрессе Коши .