Следствия общего уравнения гидростатики ∇p=−ρ∇E∇p=−ρ∇E\nabla p= -\rho \nabla E в терминах поверхностей, где ppp и EEE постоянны

Я сталкиваюсь с трудностями в понимании следствий общего уравнения гидростатики в случае консервативных сил.

(1) ∇ п "=" − р ∇ Е

Где п это давление, р это плотность и Е - потенциальная энергия на единицу массы.

Значение ( 1 ) ясно, но не последствия в отношении поверхностей, где п постоянна и где Е постоянно.

В частности, какой из следующих двух правилен?

( а ) Поверхности, где п "=" с о н с т а н т также являются поверхностями, где Е "=" с о н с т а н т и р "=" с о н с т а н т независимо от того, что р постоянна для всей жидкости или нет .

( б ) Поверхности, где п "=" с о н с т а н т также являются поверхностями, где Е "=" с о н с т а н т и р "=" с о н с т а н т только если вся жидкость имеет постоянную р .

С одной стороны ( а ) кажется правильным, потому что два градиента параллельны независимо от р (который является скаляром), а это означает, что они перпендикулярны к одним и тем же поверхностям, где две соответствующие величины постоянны. ⟹ поверхности одинаковые.

С другой стороны, возьмем пример двух несмешиваемых жидкостей в U-образном манометре.введите описание изображения здесь

В книге написано, что «давление одинаково на горизонтальной поверхности, проходящей через 3 и 4». Это нормально, но если ( а ) было правильно, чем п должно быть таким же и на поверхностях, проходящих через 2 и 5. На самом деле я могу рассматривать жидкость, состоящую из красного плюс часть синего (между 3 и 2), р не постоянна, но все еще является жидкостью. Но это неправильно.

Так какой между ( а ) и ( б ) правильно и каковы математические и физические причины ?

Я бы сказал, что ( б ) правильно, но, кроме моего примера, я не смог найти никакой математической причины, по которой ( а ) должно быть неправильно. Любая помощь высоко ценится.

Ответы (1)

(б) правильно. Ваше уравнение применимо только в том случае, если вся жидкость является одной и той же жидкостью.

Предположим, что, как и в вашей задаче, E = gz, где z — высота над основанием. Итак, компонент вашего уравнения в направлении z становится

д п д г "=" − р г
Поскольку в точках 3 и 4 используется одна и та же жидкость, давление в этих двух точках одинаково, скажем п 3 − 4 . Сейчас если Δ г представляет собой разницу высот между точками 2 и 3, а также между точками 4 и 5, давления в точках 2 и 5 следующие:
п 2 "=" п 3 − 4 − р Б Δ г
п 5 "=" п 3 − 4 − р р Δ г
где р Б - плотность синей жидкости и р р - плотность красной жидкости. Отсюда видно, что давления в точках 2 и 5 не равны, потому что две плотности не равны.

Спасибо за ответ! Я понимаю пример, но почему ( а ) должно быть неправильно, просто глядя на уравнение ( 1 ) ? Плотность является скаляром, поэтому, даже если она непостоянна, она не меняет направление ∇ Е , который все еще перпендикулярен поверхностям, где Е "=" с о с т и из ( 1 ) эти поверхности также должны быть с п "=" с о с т , потому что ∇ п ‖ ∇ Е , независимо от значения р .
Ну, пример, который я привел, ясно показывает, что это не так. Градиент p изменяется при изменении плотности, даже если градиент E не меняется. Вы должны получить вашу голову вокруг математики. Это не совсем вопрос физики. Если бы ро был внутри дел с правой стороны, так что это было бы ∇ ( р Е ) , то (а) будет правильным. Но это не так.
Следствия общего уравнения гидростатики ∇p=−ρ∇E∇p=−ρ∇E\nabla p= -\rho \nabla E в терминах поверхностей, где ppp и EEE постоянны
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v