SO(N)SO(N)SO(N) симметричная теория реальных скалярных полей NNN, почему заряды имеют правильные коммутационные соотношения образующих?

Question

SO(N)SO(N)SO(N) симметричная теория реальных скалярных полей NNN, почему заряды имеют правильные коммутационные соотношения образующих?

пользователь166854

Рассмотрим $SO(N)$ симметричная теория $N$ реальные скалярные поля,

л "=" \frac{1}{2} \partial_{мю} Φ^{а} \partial^{мю} Φ^{а} - \frac{1}{2} м^{2} Φ^{а} Φ^{а} - \frac{1}{4} λ (Φ^{а} Φ^{а})^{2} .

$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda(\Phi^a \Phi^a)^2.$ Для квантовой теории рассмотрим

S O (N)

$SO(N)$ обвинения

{\hat{Q}}_{a b} = \int d^{3} x {\hat{J}}_{a b}^{0}

$\hat{Q}_{ab} = \int d^3 \textbf{x}\,\hat{J}_{ab}^0$ . Почему обвинения

{\hat{Q}}_{a b}

$\hat{Q}_{ab}$ имеют правильные коммутационные соотношения образующих

S O (N)

$SO(N)$ симметрия?

Любопытный Разум

Пожалуйста, дайте определение

{\hat{J}}_{a b}^{0}

$\hat{J}^0_{ab}$ . Например, если определить их «правильным» образом, т. е. как сохраняющиеся токи при очевидном

S O (N)

$\mathrm{SO}(N)$ симметрии вопрос становится довольно тривиальным, потому что сохраняющиеся заряды симметрии в общем случае являются генераторами этой симметрии.

Ответы (1)

SO(N)SO(N)SO(N) симметричная теория реальных скалярных полей NNN, почему заряды имеют правильные коммутационные соотношения образующих?

Пожалуйста, дайте определение $\hat{J}^0_{ab}$ . Например, если определить их «правильным» образом, т. е. как сохраняющиеся токи при очевидном $\mathrm{SO}(N)$ симметрии вопрос становится довольно тривиальным, потому что сохраняющиеся заряды симметрии в общем случае являются генераторами этой симметрии.

Qмеханик · Answer 1

Давайте рассмотрим соответствующую гамильтонову теорию, чтобы у нас было понятие коммутатора, которое мы можем использовать для формирования скобки алгебры Ли. Более того, для простоты рассмотрим классическую теорию. Тогда скобка Пуассона
$\begin{matrix} (1) & {Φ^{а} (Икс), Π_{б} (у)}_{п Б} "=" {дельта}_{б}^{а} {дельта}^{3} (Икс - у), и т. д., \end{matrix}$ $\tag{1} \{\Phi^a({\bf x}),\Pi_b({\bf y})\}_{PB}~=~\delta^a_b~\delta^3({\bf x}-{\bf y}), \qquad \text{etc},$ играет роль коммутатора.
Плотность гамильтониана лагранжиана ${\cal L}_H$ для теории ОП имеет форму
$\begin{matrix} (2) & л_{ЧАС} "=" Π_{а} {\dot{Φ}}^{а} - ЧАС, ЧАС "=" \frac{1}{2} Π^{2} + В (Φ^{2}, (\nabla Φ)^{2}), \end{matrix}$ $\tag{2} {\cal L}_H~=~ \Pi_a \dot{\Phi}^a -{\cal H}, \qquad {\cal H} ~=~ \frac{1}{2} \Pi^2 +{\cal V}(\Phi^2, (\nabla\Phi)^2) ,$ где мы ввели обозначение $\begin{matrix} (3) & Φ^{2} "=" Φ^{а} г_{а б} Φ^{б}, Π^{2} "=" Π^{а} г_{а б} Π^{б}, и т. д. . \end{matrix}$ $\tag{3} \Phi^2 :=\Phi^a g_{ab} \Phi^b, \qquad \Pi^2 :=\Pi^a g_{ab} \Pi^b, \qquad \text{etc}.$
Здесь $o(N)$ -индексы $a,b,\ldots,$ поднимаются и опускаются с постоянной метрикой $g_{ab}$ . $O(N)$ симметрия
$\begin{matrix} (4) & дельта Φ^{а} "=" ε {Φ^{а}, Вопрос [ю]}_{п Б} "=" ε ю^{а}_{б} Φ^{б}, дельта Π^{а} "=" ε {Π^{а}, Вопрос [ю]}_{п Б} "=" ε ю^{а}_{б} Π^{б}, \end{matrix}$ $\tag{4} \delta \Phi^a ~=~ \varepsilon \{\Phi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Phi^b, \quad \delta \Pi^a ~=~ \varepsilon \{\Pi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Pi^b, \qquad$ имеет генераторы $\begin{matrix} (5) & Вопрос [ю] "=" \frac{1}{2} ю_{а б} {Вопрос}^{а б} "=" Π^{а} ю_{а б} Φ^{б}, {Вопрос}^{а б} "=" \int д^{3} Икс (Π^{а} Φ^{б} - Φ^{а} Π^{б}), \end{matrix}$ $\tag{5} Q[\omega]~:= \frac{1}{2}\omega_{ab} Q^{ab} ~=~\Pi^a\omega_{ab}\Phi^b, \qquad Q^{ab}~:=~\int\! d^3x\left( \Pi^a\Phi^b-\Phi^a\Pi^b\right),$ где $\begin{matrix} (6) & ю_{а б} "=" - ю_{б а} \end{matrix}$ $\tag{6} \omega_{ab}~=~-\omega_{ba}$ являются антисимметричными матрицами.
Нетрудно проверить, что образующие (5), снабженные скобкой Пуассона (1), образуют $o(N)$ Алгебра Ли. См. также этот пост на Phys.SE.
Заряды Нётер являются генератором симметрии, как это всегда бывает в гамильтоновых теориях, ср. например, этот пост Phys.SE. Это также может быть явно подтверждено в приведенном выше случае.
Приходим к выводу, что нётеровские заряды (5) образуют $o(N)$ Алгебра лжи.
Наконец, кажется, что ОП также задает более общий вопрос о том, поднимается ли любая симметрия любого действия до симметрии соответствующих нётеровских зарядов? Это хороший вопрос, и он обсуждался, например, в этом посте Phys.SE. Ответ: Не всегда! Могут быть как классические, так и квантовые препятствия/аномалии, такие как, например, центральные заряды и 2-коциклы.

SO(N)SO(N)SO(N) симметричная теория реальных скалярных полей NNN, почему заряды имеют правильные коммутационные соотношения образующих?

пользователь166854

Любопытный Разум

Ответы (1)

Qмеханик

Связь между сохраняющимся зарядом и генератором симметрии

Теорема Нётер с полугруппой симметрии вместо группы

Предположения вне оболочки и на оболочке при выводе теоремы Нётер

Глобальная фазовая симметрия для комплексной скалярной теории поля

Алгебра Ли осевых зарядов

Почему бесконечно малых сдвигов достаточно, чтобы доказать, что симметрия выполняется?

Теорема Нётер: группы Ли против алгебр Ли; конечные и бесконечно малые симметрии

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?