Теорема Нётер: группы Ли против алгебр Ли; конечные и бесконечно малые симметрии

Я просмотрел похожие темы по этой теме, чтобы узнать, был ли уже ответ на мой вопрос, но я не нашел совсем то, что искал, возможно, это потому, что мне трудно подобрать слова. мой вопрос, и я надеюсь, что вы сможете помочь мне задать его ясно.

Я пытаюсь связать то, что я знаю из математики, с тем, что мы пишем в физике для теоремы Нётер. Если я правильно понимаю, мы рассматриваем симметрии действия, т.е. относительно каких групп симметрии оно инвариантно. Теорема Нётер позволяет нам вычислить сохраняющийся ток в случае непрерывной симметрии (группы Ли) с помощью так называемых бесконечно малых симметрий, которые, как я полагаю, являются элементами алгебры Ли (т. е. касательным пространством к нейтральному элементу) группа Ли.

Я предполагаю, что если действие инвариантно относительно симметрии, то его «вариация» должна быть равна 0, когда мы изменяем систему (пространственно-временную координату или поле), используя эту симметрию; именно этот шаг я хотел бы лучше понять, как я могу правильно формализовать этот шаг математически? Как мне понимать эту вариацию и как ее вычисление порождает элементы алгебры Ли?

Ответы (1)

  1. Теорема Нётер (первая) на самом деле не о группах Ли, а только об алгебрах Ли, т. е. достаточно н бесконечно малые симметрии, чтобы вывести н законы сохранения.

  2. Третья теорема Ли гарантирует, что конечномерную алгебру Ли можно возвести в степень в группу Ли, ср. например , Википедия и n-Lab .

  3. Если человек заинтересован только в получении н законы сохранения один за другим (и не столько интересуясь тем, что н законы сохранения часто вместе образуют представление алгебры Ли л ), то можно сосредоточиться на 1-мерной абелевой подалгебре Ли ты ( 1 ) ≅ р .

  4. В контексте теории поля должны быть гомоморфизмы алгебры Ли из алгебры Ли л к алгебре Ли векторных полей на пространстве конфигураций поля (так называемые вертикальные преобразования) и к алгебре Ли векторных полей пространства-времени (так называемые горизонтальные преобразования).

  5. Что действие функционально С [ ф ] обладает симметрией (квазисимметрия) означает, что соответствующие производные Ли С относительно указанные выше векторные поля должны обращаться в нуль (быть граничным членом) соответственно.

  6. Обратите внимание, что токи и заряды Нётер не всегда образуют представление алгебры Ли. л . Например, могут появиться центральные расширения, ср. этот и этот посты Phys.SE.

1. Итак, если я выберу, как в 3), рассмотреть одномерную подалгебру, поэтому у меня есть 1 образующая и параметр (скажем, угол), по которому я могу дифференцировать: я бы посмотрел на изменение лагранжиана относительно изменения угла, который должен быть равен нулю? 2. Другая мысль, которая приходит на ум (вероятно, простой вопрос), подразумевает ли инвариантность относительно «реального» преобразования (под этим я подразумеваю элемент группы Ли) инвариантность относительно «бесконечно малой» симметрии?
1. Помимо вопроса о лагранжиане и действии, тогда да. 2. Да.
На вопрос 2. Как я могу это увидеть? Может быть, это ссылка, которую мне не хватает, поскольку касательные векторы не обязательно являются элементами самой группы...
1. Во-первых, должен существовать гомоморфизм групп Ли Φ из группы Ли грамм в группу диффеоморфизмов/потоков на соответствующем пространстве. 2. Во-вторых, функционал действия С должны быть инвариантны при составлении полей с указанными выше потоками. 3. Производная Φ * этого отображения становится гомоморфизмами алгебры Ли из алгебры Ли л к алгебре Ли векторных полей. 4. Теперь объедините эти факты, чтобы показать, что С должны быть инвариантны относительно соответствующих векторных полей.
Теорема Нётер: группы Ли против алгебр Ли; конечные и бесконечно малые симметрии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v