Собственные частоты нормальных режимов

Лучше всего смотреть на собственные векторы. Это расскажет вам все, что вам нужно знать.

В любом случае,$0$соответствует синхронному вращению всех масс.

Другая мода соответствует симметричному сближению и удалению соседних масс друг от друга. Здесь вы можете выбрать обобщенную координату$x$быть расстоянием между одной парой соседних масс. Тогда потенциальная энергия$\frac{k}{2} (2x^2 + 2(\pi r - x)^2) + \dots$а кинетическая энергия имеет вид$\frac{m}{2} 4(\frac{\dot x}{2})^2$.

Я считаю, что в последнем режиме две противоположные массы остаются неподвижными, в то время как другие массы между ними колеблются. Колеблющиеся массы движутся в противоположных направлениях, так что силы, действующие на неподвижные массы, остаются уравновешенными. В этом последнем случае вы можете заменить фиксированные массы неподвижными точками (симметрия). Затем к каждой из оставшихся масс прикреплены две пружины, что дает эффективную жесткость пружины$2k$. (В обобщенных координатах потенциал для одной массы равен$\frac{k}{2} r^2(\theta_1)^2 + \frac{k}{2}r^2(\theta_1 - \pi)^2 + \dots$, поэтому главный член$\sim \frac{2k}{2} x^2$)