Движение nnn тел, связанных пружинами

Дело не в том, что окончательное решение выглядит именно так. Скорее, вы ищете все решения той формы ( обычные режимы ) по двум причинам:

• Их легко найти

• Впоследствии вы можете разложить любое движение на сумму нормальных мод. Это происходит от написания ваших уравнений движения в нормальном базисе*.

Итак, сначала вы работаете с нормальными режимами, принимая решение, подобное тому, которое вы там написали. Затем вы пишете систему уравнений, в которой говорится, что координаты являются линейной комбинацией нормальных режимов. Оценивая этот набор уравнений в некоторый момент времени и приравнивая его к набору начальных условий, вы можете найти амплитуду каждой нормальной моды. Вот полностью проработанный пример .

Часто бывает достаточно знать, каковы нормальные частоты, чтобы предсказать такие атрибуты, как спектр поглощения молекулы.

* Ваше уравнение имеет следующий вид:$\frac{d^2\vec x}{dt^2}=A\vec x$. Диагонализируя симметричную матрицу A, вы можете записать ее как диагональную матрицу$D$на другом основании:$A=CDC^T$($C$это матрица, которая берет координаты в новом базисе и дает вам позиции в старом). Умножение исходного уравнения на$C^T$слева и с помощью$C^TC=\mathbb I$, Вы получаете$\frac{d^2}{dt^2}C^T\vec x=DC^T\vec x$. Вызов$\vec y=C^T\vec x$нормальные координаты, теперь у вас есть набор несвязанных дифференциальных уравнений:$\frac{d^2y_n}{dt^2}=D_ny_n$. Их решение$y_n=A_n\sin(\omega_nt+\phi_n)$, с$\omega_n=\sqrt{-D_n}$.

Хотя это доказывает, что у вас есть основа нормальных режимов, вы не проходите всю эту процедуру каждый раз. Обычно вы просто предлагаете решения для нормального режима.