Сохранение импульса при попадании дождя в вагон

Чтобы справиться с этим типом проблем, вы должны точно определить, с какой системой вы имеете дело, а затем не менять эту систему на полпути к проблеме. Это определение позволяет вам очень четко определить, действуют ли на «систему» ​​какие-либо внешние силы и, следовательно, является ли импульс системы постоянным или нет.

В этом случае вы как бы определяете сам вагон как систему, но затем говорите о вагоне как о набирающем вес, подразумевая, что определение того, что представляет собой вагонная система, меняется.

Давайте попробуем так: система — это сама повозка, без какой-либо дополнительной массы, которую можно было бы добавить. Повозка имеет определенный импульс, и, поскольку нет внешней силы трения, этот импульс постоянен.

Но затем начинается дождь. Ни один из этих дождей не включен в систему , даже если он попадает внутрь повозки. Но, оказавшись в ловушке, вертикально падающий дождь также оказывает на систему горизонтальную силу : либо ударяется о заднюю часть повозки в воздухе, либо ударяется о дно и течет к задней части повозки. Все это означает, что на систему действует внешняя сила со стороны дождя , и импульс системы не сохраняется.

Мы можем начать заново: теперь система определяется как включающая фургон и всю вертикально падающую воду. Поскольку изначально у дождя нет горизонтальной скорости, общий импульс этой новой системы равен импульсу повозки.

Теперь дождь начинает бить повозку. Но согласно нашему новому определению, все воздействие дождя является внутренней силой и не может изменить общий импульс. Эта новая система изолирована, и импульс сохраняется. Так что теперь, поскольку все больше и больше систем перемещается вместе с повозкой, повозка должна замедлиться. Внутри импульс передается от вагонной части к дождевой части всей системы.

Когда капли дождя падают на поверхность вагона, они не двигаются относительно рельсов. Трение необходимо, чтобы разогнать капли дождя до скорости повозки. Следовательно, по третьему закону Ньютона на поверхность вагона должна действовать сила реакции капель дождя.

Масса тележки меняется! Это система с переменной массой , которая гласит:

Но если скорость вагона изменится, результирующая сила не может быть равна нулю, верно?

Верно только в том случае, если масса постоянна (это не так, если вагон наполняется водой). Если масса и скорость изменяются, вы ничего не можете сказать о силе.

Запишите эксперимент и воспроизведите видео в обратном порядке. Вы увидите повозку, движущуюся назад. Вагон разбрызгивает воду. По отношению к фургону кажется, что распыляемая вода движется вверх и к передней части фургона. Вагон ускоряется в направлении, противоположном горизонтальной скорости распыляемой воды, при этом вертикальная скорость нейтрализуется землей. Изображение аналогично ракете, которая скользит, врезаясь в плоскую землю под углом.

Рассмотрим классический эксперимент с железнодорожной тележкой с пулеметом, стреляющим назад. Направьте пушку над горизонтом, замените пули водой, а затем поверните время вспять — вы достигли своего эксперимента с повозкой.

Это противоположность ракетной проблеме. В ракете ускорение происходит из-за того, что масса выбрасывается из задней части.
F = d/dt(mv) = m.dv/dt +v.dm/dt.
Если F = 0, то m.(-dv/dt) = v.dm/dt <-- обратите внимание на отрицательный член с ускорением.
В «типичной» задаче масса существенно не меняется, но в ракете этот массовый член весьма значителен. То же самое и с вагоном, здесь масса не уменьшается, а увеличивается.
Итак, как показывает наше уравнение, экспериментатор ожидает увидеть «отрицательное» ускорение (-dv/dt), уменьшающее скорость вагона по мере увеличения массы.

Суммарная сила, действующая на каплю дождя и вагон, равна нулю. Рассмотрим одну каплю дождя.

Пусть импульс в направлении движения комбинированной системы вагон/капля равен p. В настоящее время

p = p_wagon_before + p_raindrop_before 

где p_wagon_before и p_raindrop_before — импульс вагона и капли дождя перед тем, как капля ударит по вагону. Имеем тогда:

p_wagon_before = p and 
p_raindrop_before = 0. 

После того, как дроп приземлится в фургоне, у нас будет

p_wagon_after + p_raindrop_after = p_wagon_before + p_raindrop_before.

Предположим, что p = MV, где M — масса вагона, а V — его скорость до столкновения. После столкновения вагона с дождевой каплей имеем

p = (M + m) (V+dV) 

где m — масса капли дождя, а dV — изменение скорости из-за столкновения, так что

M V = (M+m) (V+dV) so that 0 = MdV + mV + m dV so that 

dV = - mV/(M+m) 

Таким образом, результирующая сила равна нулю, и повозка замедляется, поскольку dV имеет противоположный знак по отношению к V.