Степень анизотропии кристаллических тензоров

Я собираюсь следовать статье Phys. Преподобный Летт. 101, 055504 , который, кажется, очень лаконично отвечает на этот вопрос. Обычная запись Войта:$C_{ijkl} \to C_{mn}$здесь мы определяем оценки Войта и Рейсса, как определено в Proc. физ. соц. А 65 349 . Например :

$$K^V= \frac{1}{9}\left(C_{11} + C_{22} + C_{33} + 2 (C_{12} + C_{23} + C_{31})\right)$$ и так далее для $K^R, G^V, \mathrm{and} \,G^R$. Я уточню их в этом ответе позже, если это необходимо. Затем авторы PRL переходят к определению $$A^U = 5 \frac{G^R}{G^V} + \frac{K^R}{K^V} - 6 \geq 0$$ как универсальный индекс упругой анизотропии. Их утверждения, что $A^U = 0$для изотропных кристаллов, где $C_{11} = C_{22} = C_{33}$, $C_{44} = C_{55} = C_{66} = \frac{C_{11} - C_{12}}{2}$, и $C_{12} = C_{13} = C_{23}$точны, как и утверждения о кубических классах. Эта величина охватывает широкий спектр классов кристаллов (всех) и, как я понимаю, не имеет противоречивых проблем, которые имеет анизотропный индекс Зинера.

Я думаю, что идея определения сферической части и анизотропной части является правильным подходом. Вот моя попытка.

Параметр дробной антропии для процесса диффузии можно переписать как

$$\text{FA}^2 = \frac{3}{2} \frac{ \mathbf{\tilde{D}}^2}{\textbf{D}^2},$$ где $\mathbf{D}$– тензор диффузии и $\tilde{\mathbf{D}} = \mathbf{D} - \frac{1}{3} \mathbf{I} \, \text{tr} (\mathbf{D})$бесследная версия того же самого. В этой форме нетрудно понять, что мы делаем: мы берем тензор, вычитаем его сферически-симметричную часть, возводим остаток в квадрат, а затем нормализуем его относительно квадрата исходного тензора. В частности, если тензор уже сферически симметричен, то $\text{FA} = 0$автоматически.

Для этого определим

$$\tilde{C}_{ijkl} = C_{ijkl} - K \delta_{ij} \delta_{kl} - \mu \left( 2 \delta_{k(i} \delta_{j)l} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \delta_{kl} \right)$$ где мы определили $K$и $\mu$быть $$K = \frac{1}{9} \delta^{ij} \delta^{kl} C_{ijkl}$$ и $$\mu = \frac{1}{20} \left( 2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) C_{ijkl}.$$ По построению имеем $$\delta^{ij} \delta^{kl} \tilde{C}_{ijkl} = \left( 2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) \tilde{C}_{ijkl} = 0.$$ Чтобы убедиться в этом, свяжите каждый из этих тензоров с правой частью определения $\tilde{C}_{ijkl}$выше, и обратите внимание, что $$\left(2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) \delta_{ij} \delta_{kl} = 0.$$

По сути, этот процесс проецирует тензор$C_{ijkl}$на пространство сферически-симметричных тензоров с соответствующей индексной структурой (теперь двумерное векторное пространство, а не одномерное векторное пространство, как в случае тензора диффузии). В частности, если$C_{ijkl}$уже соответствует виду тензора жесткости для изотропной среды (для некоторых$K$и$\mu$), то получим$\tilde{C}_{ijkl} = 0$. Тогда аналог параметра дробной изотропии будет

$$\text{FA}^2 = \alpha \frac{\tilde{C}_{ijkl}\tilde{C}^{ijkl}}{C_{ijkl} C^{ijkl}},$$ где $\alpha$— это параметр нормализации, который, к сожалению, сейчас не успеваю рассчитать. Я вернусь к этому ответу позже, когда у меня будет время выяснить, как его рассчитать.

Редактировать: $\alpha = 5/4$, Я думаю. Если мы подключим$C_{ijkl}$с$C_{1111} = 1$а остальные компоненты нулевые, получаем$\text{FA}^2 = \frac{4}{5}\alpha$. Требование$\text{FA} = 1$в этом случае означает, что$\alpha = 5/4$.

Обратите внимание, что мы ограничены тем фактом, что тензор жесткости не может быть произвольным тензором, но должен быть «положительно полуопределенным» в том смысле, что плотность энергии градиента$C_{ijkl} \partial_i u_j \partial_k u_l$всегда должен быть неотрицательным. (В противном случае состояние с$\partial_i u_j = 0$везде не было бы устойчивым состоянием равновесия для системы.) Именно это ограничение мешает нам выбрать тензор с$K = \mu = 0$и$\tilde{C}_{ijkl} = C_{ijkl}$.