Существует ли грубое аналитическое выражение для радиального распределения массы Млечного Пути?

Для целей этого простого упражнения, каким будет аналитическое выражение, которое примерно соответствует радиальному профилю плотности Млечного Пути, спроецированному на его экваториальную плоскость?

Простейшим примером работы астронома является радиальный профиль плотности одиночной изотермической сферы (SIS). Он называется так, потому что он сферически симметричен (и, следовательно, применим к двумерной плоскости для ваших целей), и все объекты вращаются с одинаковой скоростью (и, следовательно, имеют одинаковую «температуру», следовательно, изотермические). Профиль плотности имеет вид:

$$\rho(r) = \frac{v^2}{4\pi Gr^2}$$

где$v$это скорость вращения. Обратите внимание, что вы можете увидеть другие составы, в которых используется$\sigma_v$скорее, чем$v$. В этом случае они используют дисперсию скоростей , которая немного отличается от скорости вращения.

Другие, более реалистичные профили плотности были найдены путем моделирования Вселенной и сопоставления функциональных уравнений с профилями плотности полученных галактик. Такими популярными результатами являются профиль NFW и профиль Einasto .

Профиль NFW представляет собой двухпараметрическую функцию, заданную выражением

$$\rho(r) = \frac{\rho_0}{\frac{r}{R_S}\Big(1+\frac{r}{R_S}\Big)^2}$$

где$\rho_0$и$R_S$и два параметра, зависящие от гало.

Профиль Einasto снова представляет собой двухпараметрическую модель, заданную формулой

$$\rho(r) \propto \exp(-Ar^\alpha)$$

где$A$и$\alpha$являются настраиваемыми параметрами.

Для сферически-симметричных распределений теорема Ньютона об оболочке позволяет рассматривать всю массу внутри сферы, определяемой радиусом орбиты, как если бы она находилась в центре, и игнорировать всю массу в оболочке за пределами этого радиуса. Есть ли аналог этого для радиального распределения внутри плоскости?

Теорема Шелла для гравитации не распространяется на двумерное кольцо. Однако я скажу, что когда речь идет об орбитах звезд в галактиках, массы звезд вне орбиты звезды обычно считаются пренебрежимо малыми. Основная причина этого заключается в том, что именно Темная Материя составляет большую часть массы галактики и вносит наибольший вклад в определение орбиты звезды в галактике. Гало темной материи часто считается сферически симметричным, и в этом случае применима теорема Ньютона о раковине, и масса, которая вас интересует при определении орбиты звезды, представляет собой массу гало темной материи внутри орбиты звезды.

@Rob Jeffries упомянул, что «вы получаете распределение плотности, просматривая данные скорости». Я также считаю, что это то, что вы ищете, поэтому я дам некоторые детали расчета.

Предположим, что сферическая симметрия и круговое движение, гравитация приравнивается к круговому движению как

$$\alpha \frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$$ где $G$гравитационная постоянная, $M$- заключенная масса на радиальном расстоянии $R$, $v$- тангенциальная (не радиальная) скорость, $m$является тестовой массой, и $\alpha$– константа эффективного потенциала, которая зависит от предполагаемой формы потенциала. Тогда мы можем выразить массу $M$как профиль плотности $\rho$. При сферической симметрии профиль $\rho \propto M R^{-3}$. Поэтому, $$\alpha' G \rho R^2 = v^2 .$$

Поскольку наблюдательно мы можем построить кривую вращения, которая$v = f(R)$, тогда профиль плотности является функцией, зависящей только от$R$:$\rho = g(R)$, т. е. радиальное распределение массы.

Некоторые примечания включают i) массу$M$включает темную материю; ii)$v$это тангенциальная скорость, а не радиальная скорость, как показано на рисунке, который вы упомянули.