Какова форма (вдоль плоскости, а не вверх-вниз) звездных орбит в плоских спиральных галактиках?

Это интересный вопрос, и часто на интересные вопросы невозможно легко ответить с помощью каких-либо современных знаний, но на этот вопрос можно ответить в некоторой степени. Я собираюсь пройтись по основам орбитальной теории и описать, как их можно применить к галактикам и чем они отличаются от кеплеровских систем. Вы должны иметь разумное представление о ньютоновской физике (ведь все орбиты выводятся именно из законов Ньютона) и хорошие познания в математике. Если у вас нет этих вещей, просто переходите к концу каждого раздела, где я попытаюсь обобщить важные моменты, лежащие в основе математики.

Краткая заметка о математических обозначениях, которые я буду использовать. Точка над символом указывает производную по времени (например,$\dot{a}$) и невыделенные жирным шрифтом символы представляют собой векторные величины (например,$\bf F$). Давайте приступим к делу.

Орбитальное уравнение движения

Рассмотрим массу$m$как некоторая позиция$\bf r$и движется с движением, описываемым$\bf \dot{r}$. Эта масса испытывает силу$\textbf{F}(r)$которая является только функцией радиального расстояния,$r$, от центра системы координат. Цель здесь состоит в том, чтобы определить уравнение движения, которое может описать орбиту массы из-за этой силы. Затем это уравнение можно использовать для решения$r(\theta)$. По закону Ньютона уравнение движения может быть первоначально определено как

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Обратите внимание, что в этом случае$r$это просто радиальная составляющая$\bf r$и$\theta$- азимутальный угол тела в сферической системе координат. Я оставлю это вам, чтобы определить, как разбить ускорение на две указанные выше составляющие в соответствующей системе координат. Попробуем удалить наш$\theta$зависимость, так что мы имеем только функцию$r$. Этого можно достичь, используя закон сохранения углового момента. Угловой момент на единицу массы определяется выражением$\ell = r^2\dot{\theta}$так что$\dot{\theta} = \ell/r^2$. Это дает

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Теперь это дифференциальное уравнение, которое позволяет нам решить для$r(t)$, но мы хотим$r(\theta)$поэтому нам нужно сделать некоторое преобразование. Давайте перепараметрируем, определив$u \equiv 1/r$(причина станет ясна чуть позже) и определения$\ddot{r}$с точки зрения$u$и$\theta$.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Обратите внимание на замену$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$. Теперь снова дифференцируйте, чтобы определить$\ddot{r}$.

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Подставляя это в наше выражение для уравнения движения и делая преобразование, которое$r=1/u$наконец дает

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Записав в более удобной форме, окончательно придем к

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

Помните, что$m$это масса тела,$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$,$\ell$- угловой момент на единицу массы,$\bf F$- чисто радиальная сила, действующая на тело, и$r$и$\theta$— радиальные и азимутальные координаты массы.

Изюминка : конечным результатом здесь является общее уравнение движения тела, вращающегося по орбите в соответствии с некоторой произвольной силой. Это может быть гравитация, электромагнитное поле, сила пружины или что-то еще, что мы решим. Он целенаправленно выведен из общих и неограничивающих предположений, и, надеюсь, вы видите, что его можно использовать для понимания орбитального движения звезды, вращающейся вокруг дисковой галактики. Целью этого уравнения должно быть подключение вашей силы (какой бы она ни была) и решение для$u(\theta)$. Отсюда легко определить$r(\theta)$.

Кеплеровское движение

Прежде чем мы приступим к рассмотрению орбитального движения в галактике, давайте посмотрим на стандартное кеплеровское движение, чтобы нам было с чем сравнивать. Кеплеровское движение вытекает из предположения, что наша масса$m$вращается вокруг одной точечной массы$M$и под действием простой гравитации. В этом случае мы можем записать нашу силу как$F(r) = kr^{-2}$и поэтому$F(1/u) = ku^2$, куда$k\equiv GMm$— константа, определенная здесь для математической простоты. Обратите внимание, что$G$— гравитационная постоянная. Общее орбитальное уравнение под действием этой силы теперь принимает вид

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Это стандартное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянной вынуждающей функцией. Если вы знаете свой дифференциальный эквалайзер, вы должны знать решение почти сразу.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

В этом уравнении$A$некоторая неизвестная константа, и$\theta_0$представляет начальный угол орбиты, который мы можем произвольно выбрать равным нулю. Наша конечная цель – получить$r(\theta)$так что давайте делать это. Я собираюсь сделать несколько шагов за один, а вам оставить промежуточную математику. я заполню для$k = GMm$и определить угловой момент как$L = \ell\mu$куда$\mu$— приведенная масса нашей системы . Я также заявляю без доказательств, что$e = A(m\ell^2/k)$куда$e$- эксцентриситет орбиты.

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

Изюминка : мы нашли финальное уравнение, которое описывает орбитальное движение массы под действием гравитации из-за точечной массы.$M$. Если вы знаете свое дело, то увидите, что это уравнение точно описывает конические сечения в зависимости от значения$e$. Если$e = 0$, вы получаете круговое движение (поскольку$r(\theta)$становится константой). Если$0 < e <1$, вы получаете эллиптическое движение,$e=1$является параболическим движением и$e > 1$является гиперболическим.

Как и ожидалось, кеплеровское движение (т. е. наличие центральной силы, такой что$F\propto r^{-2}$) привели к коникам, что и является первым законом Кеплера. Второй и третий законы Кеплера более или менее вытекают из одних и тех же предположений. Понятно, что любая система, в которой$F \not \propto r^{-2}$не подчиняется ни одному из законов Кеплера. Орбиты не являются идеальными кониками (например, эллипсами, окружностями и т. д.), они не заметают равные площади за равное время, а стандартные$P^2 \propto a^3$конечно не относится.

Орбитальное движение в галактике

Ваш вопрос правильно описывает ситуацию для звезд (или чего-то еще), вращающихся вокруг галактики. Звезды не вращаются вокруг центральных точечных масс. Они встроены как в барионную, так и в темную материю, из которой состоит галактика, и вращаются вокруг нее. В физике хорошо известно , что сферически-симметричные распределения масс не оказывают чистого гравитационного притяжения на объекты внутри этого распределения, а это означает, что для звезд в галактике масса, влияющая на их орбиту, равна массе внутри ее радиуса. Если этот радиус изменится, масса изменится!

Центральной силой, действующей на нашу звезду, по-прежнему будет гравитация, но масса, действующая на нее, будет состоять из всей массы внутри некоторого радиуса, обозначаемого$M_r$. Мы это видим$F(r) = GM_r(r)m/r^2$. Если мы хотим определить силу, действующую на нашу звезду (и, следовательно, точную орбиту с помощью приведенного выше дифференциального уравнения), нам сначала нужно выяснить, какова масса внутри некоторого радиуса. Этого можно добиться, используя уравнение неразрывности массы .

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

Можно по существу разобраться во всей массе салона до$r$путем интегрирования всей плотности массы как функции$r$. Здесь, конечно, вам нужно хорошее уравнение для$\rho(r)$. Простым, но физически нереалистичным профилем плотности является сингулярная изотермическая сфера (SIS), тогда как более реалистичным, но математически сложным уравнением может быть профиль NFW или профиль Эйнасто .

Я изложил все шаги, необходимые для определения орбитального движения галактики, но должен сказать, что это некрасиво. Однако мы можем рассмотреть часть самого простого случая, SIS.

Одиночная изотермическая сфера

Для сингулярной изотермической сферы у вас есть это$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$, куда$v$скорость вращения вашей звезды. Этот профиль основан на важном факте о дисковых галактиках.$-$их вращательный профиль плоский! Это было хорошо установлено, например, Ruben et al. 1978 . Ниже я воспроизвел рисунок из этой статьи, на котором показана кривая вращения для нескольких галактик. Важным моментом здесь является то, что это показывает$v$постоянна и не зависит от радиуса! (Если предположить, что мы не находимся рядом с галактической выпуклостью или центром. Это совсем другой зверь.)

С помощью этой важной части информации мы можем решить для$M_r$путем интеграции$\rho(r)$(что я оставлю на ваше усмотрение). Результат в том, что

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Это означает, что ваша сила дается

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

Здесь вы можете видеть, что, в отличие от кеплеровского случая, наша сила пропорциональна$r^{-1}$скорее, чем$r^{-2}$. Вы можете проделать этот процесс с другими профилями плотности (такими как NFW или Einasto I, перечисленные выше), но вы получите тот же результат.

Если вы так склонны, вы можете подключить это к орбитальному уравнению движения выше и решить его, но теперь вы работаете с нелинейным дифференциальным уравнением, и все может быстро запутаться.

Изюминка : я не уверен, что это действительно отвечает на ваш вопрос или нет. Я частично завел вас в кроличью нору, но, надеюсь, вы понимаете, насколько это быстро становится сложным. Вся вышеуказанная работа использовала широкие предположения и упрощения. Я полагаю, что короткий ответ на все это заключается в том, что звезды вращаются вокруг галактик по сложной, но замкнутой орбите, которую нелегко точно описать (даже для нашей собственной галактики) с помощью вычисляемых уравнений. Мы можем аппроксимировать и делать все возможное, чтобы работать с математикой, но в конце концов это будет аппроксимация. Однако в самых грубых приближениях вы можете также считать орбиту, подобную нашей звезде, круговой и покончить с этим.