Тензор энергии-импульса и зависимость от системы координат в общей теории относительности

Мне никогда не нравилась аналогия с «коробкой».

Вместо того, чтобы думать о$T_{ab}$, я люблю думать о$T_{a}{}^{b}$, который отображает векторы в векторы. Теперь представьте, что вы исследуете этот тензор двумя векторами, времяподобным$u^{a}$, и космоподобный$s^{a}$.

Тогда вектор:

$$u^{a}T_{a}{}^{b}$$

описывает плотность энергии-импульса, протекающую через пространство-время, а вектор

$$s^{a}T_{a}{}^{b}$$

описывает поток давления, протекающий через пространство-время (обратите внимание, что временная составляющая этого будет импульсом, но это разумно, потому что

$$\nabla_{b}\left(s^{a}T_{a}{}^{b}\right)=0 \rightarrow {\dot {\vec p}} = {\vec \nabla} \cdot {P_{ij}}$$

(извините за некоторое злоупотребление индексами в этом эвристическом обсуждении), что имеет смысл с точки зрения обычной механики жидкости.)

Причина, по которой я предпочитаю эту интерпретацию, заключается в том, что она делает связь с обычной классической механикой намного более ясной и гораздо более согласуется с тем, как люди на самом деле строят тензоры энергии-импульса, пытаясь установить IVBP для уравнения Эйнштейна.

Вам нужно различать понятие тензора и его представление в конкретной системе координат.

Понятие тензора напряжений представляет собой (линейное) преобразование между бесконечно малым элементом поверхности (определяемым его нормальным направлением) и силами, действующими на тело, если оно было разрезано на этой поверхности . Это преобразование дает правильный результат для каждого возможного элемента поверхности в конкретной точке, каким бы ни было его нормальное направление, и оно не зависит от выбора системы координат. На самом деле он должен быть независимым от системы координат, потому что «законы физики» не заботятся о том, какую систему координат вы используете для их описания!

С другой стороны, представление тензора (например, в виде массива чисел) действительно зависит от выбора системы координат, и для того, чтобы что-то вычислить в конкретной физической ситуации, обычно гораздо проще работать с некоторыми вариантами системы координат. с чем другие. Например, правильный выбор системы координат может привести к тому, что некоторые числовые коэффициенты будут равны нулю, и/или может уловить некоторую симметрию физической ситуации удобным способом.

Нет особой причины, по которой система координат должна представлять «прямоугольную рамку», хотя часто это удобно сделать, поскольку каждая пара нормализованных базисных векторов$\vec e_i$и$\vec e_j$затем удовлетворить$\vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}$.