Тензор энергии-импульса и ковариантная производная

В теории поля импульс энергии определяется как функциональная производная по метрике

Т мю ν "=" 2 − г дельта С дельта г мю ν

(до знака в зависимости от соглашений) Для теории в плоском пространстве это имеет то преимущество, что дает вам непосредственно улучшенный тензор энергии-импульса, поскольку метрика симметрична, но это справедливо и для динамических метрик.

Теперь моя проблема заключается в следующем: если в вашем лагранжиане есть термин вроде А мю ν ∇ мю В мю , где В мю является векторным полем (не обязательно быть калибровочным полем, например, скажем, что оно представляет скорость в гидродинамике) и А мю ν произвольный тензор, априори зависящий от чего-либо (метрика, В или любое другое поле), у вас будет символ Кристоффеля. Если вы возьмете функциональную производную, выражение будет содержать такие термины, как

дельта Г мю ν р ( Икс ) дельта г α β ( у ) ⊃ г р о ∂ мю ( г ν α г о β дельта ( Икс − у ) ) +перестановки

эти термины не будут снова объединяться, чтобы сформировать символ Кристоффеля. Как можно взять функциональную производную чего-то ковариантного ( ∇ В ) по отношению к чему-то ковариантному (метрике) и получить что-то нековариантное? Для случаев плоского пространства все хорошо, поскольку эти члены исчезнут, но для искривленного пространства мы теряем общую ковариантность/разностную инвариантность. Что мне здесь не хватает?

Хорошо, г мю ν ∇ мю В ν выглядит как граничный член, поэтому он не будет способствовать лагранжиану. Это глупый второстепенный момент, но, возможно, ∇ мю В ν ∇ мю В ν было бы лучше...
да, действительно, я думал о производной вектора, появляющегося в действии. я отредактировал
Обратите внимание, что дельта Г мю ν λ является тензором. Именно так дельта Г мю ν λ "=" 1 2 г λ р ( ∇ мю дельта г р ν + ∇ ν дельта г мю р − ∇ р дельта г мю ν ) .

Ответы (1)

@Prahar прав, вариация символа Кристоффеля является тензором, даже если сам Кристоффель им не является. У нас есть

дельта Г мю ν р "=" 1 2 дельта ( г р α ( 2 ∂ ( мю г ν ) α − ∂ α г мю ν ) ) "=" 1 2 дельта г р α ( 2 ∂ ( мю г ν ) α − ∂ α г мю ν ) + 1 2 г р α ( 2 ∂ ( мю дельта г ν ) α − ∂ α дельта г мю ν )

где А ( мю ν ) "=" 1 2 ( А мю ν + А ν мю ) . С использованием дельта г р α "=" − г р γ г α дельта дельта г γ дельта у нас есть:

дельта Г мю ν р "=" 1 2 г р α ( 2 ∂ ( мю дельта г ν ) α − ∂ α дельта г мю ν − 2 Г мю ν β дельта г α β )

Затем Кристоффель прекрасно сочетается со стандартной производной, чтобы получить ковариантный тензор (другие символы Кристоффеля компенсируют друг друга)

дельта Г мю ν р "=" 1 2 г р α ( 2 ∇ ( мю дельта г ν ) α − ∇ α дельта г мю ν ) .

Итак, чтобы ответить на исходный вопрос, мы, наконец, имеем:

∇ мю В ν "=" ∇ мю дельта В ν − 1 2 г р α ( 2 ∇ ( мю дельта г ν ) α − ∇ α дельта г мю ν ) А р

Помните, что мы ничего не предполагали на В мю . В зависимости от проблемы затем можно интегрировать по частям, чтобы изолировать дельта г мю ν и получить тензор энергии-импульса.

Тензор энергии-импульса и ковариантная производная
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v