Топологически является ли особенность кривизны просто дырой?

Или вместо этого сингулярная структура не является частью многообразия, как это предлагается в ответе @benrg на этот вопрос, и, следовательно, не является топологической дырой?

Это не две разные интерпретации. Топологическая дыра — это именно то, что не является частью многообразия.

Мне интересно, может быть, с моей наивной точки зрения, топологическая перспектива лучше подходит для описания сингулярностей кривизны?

Опять же, это не «или».

Теорема Хокинга (SW Hawking, CMP 25, 152-166 (1972)) утверждает, что поверхности горизонта событий в (3+1)D асимптотически плоских стационарных пространствах-временях черной дыры, подчиняющихся доминирующему энергетическому условию, являются топологически 2-сферами.

Кроме того, если вы рассматриваете евклидов интеграл скаляра Гаусса-Бонне ЧД ($r$от горизонта до бесконечности и евклидово время от$0$к$1/T$), вы получите эйлерову характеристику$\chi =2$, который действительно является сферой.

«Когда Шварцшильд решил определить гравитационное поле точечного источника, расположенного в начале$R^{3}$. Следовательно, его решение должно быть дифференцируемо на R × ($R^{3}$- {(0, 0, 0)}) и сингулярна на R × {(0, 0, 0)}, не нарушая понятия математической точки или, точнее, понятия линии вселенной точки, тем не менее он переключается на многообразие ребер R × [0, +∞[×S², которое имеет особенности на ребре R × {0} × S², однако индуцированная на ребре пространственная метрика α²dω² явно восстанавливает топологию S². Поэтому пространственная метрика восстанавливает топологию [0, +∞[×S². Таким образом, пространство наблюдателя отождествляется с реальным трехмерным полуцилиндром, т. е. с пространством, отличным от пространства$R^{3}$что фигурирует в постановке задачи. Предполагалось, что точечная масса будет помещена в начало координат.$R^{3}$которая по условию была бы особой точкой для метрики. Теперь у нас есть не особая точка, а бесконечность особых точек, составляющих ребро {0} × S², имеющее мощность континуума. Глубоко видоизменено само содержание проблемы. Однако продолжают говорить о «начале координат r = 0», как если бы это была точка».

резюме или выдержка из длинного документа на французском языке.

Насколько я понимаю, проблема заключается в использовании замены переменных (явных или неявных) без учета математических условий, придающих им логический смысл.

Лучший способ ответить на этот вопрос — изучить внутреннее решение Шварцшильда. Что происходит как параметр компактности$\alpha=r_s/R$достигает значения$8/9$? Метрические компоненты становятся$g_{00}=0$и$g_{rr}=1$. Плотность энергии$\varepsilon$остается конечным, а давление расходится как$p~\sim r^{-2}$. Это «рождение» центральной сингулярности. Однако эти слова не имеют физического смысла. Что у нас есть наверняка, так это начальный горизонт событий, четко определяемый пространственно-временными точками, где время останавливается, т.е.$g_{00}=0$. Ясно также, что инвариант кривизны$R$, из-за дивергенции давления уходит в бесконечность. Но в сферически-симметричном пространстве-времени кривизна является внутренним свойством 2-сферы, а не безразмерной точки. Таким образом, следует интерпретировать$r=0$как 2-сфера с нулевой площадью поверхности.