центробежная сила в статической системе отсчета

На днях мы вывели третий закон Кеплера.

$$\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right) ^3$$

Чтобы получить это, вы можете посмотреть на данную планету, которая вращается вокруг Солнца. Если вы предполагаете, что солнце намного тяжелее планеты и что планета движется по кругу, вы можете просто указать силу, действующую на планету через солнце:

$$F_G = G \frac{mM}{r^2}$$

Где$F_G$это сила на планете,$G$гравитационная постоянная,$m$масса планеты,$M$масса Солнца и$r$расстояние планеты до солнца.

Наш репетитор сказал, что теперь у вас должна быть центробежная сила$F_c$что по модулю равно$F_G$, но противоположные по направлению, чтобы сумма сил была равна нулю. Абсолютное значение этого$F_c$тогда было бы равно$F_G$:

http://wstaw.org/m/2011/11/15/m9.png

Затем вы подставляете формулы для соответствующих сил:

$$|\vec{F_c}| = |\vec{F_G}|$$ $$m \frac{v^2}{r} = G \frac{mM}{r^2}$$ $$\frac{v^2}{r} = G \frac{M}{r^2}$$ $$v^2 = G \frac{M}{r}$$ $$v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$$

Где$v$- тангенциальная скорость планеты.

Вместе с$v=\frac{2\pi r}{T}$, где$T$это период революции, вы получаете:

$$\frac{2\pi r}{T} = \sqrt{G \frac{M}{r}}$$ $$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = G \frac{M}{r}$$ $$\frac{r^3}{T^2} = G \frac{M}{4\pi^2}$$

Поскольку правая часть постоянна для каждой солнечной системы, вы можете составить соотношение и получить закон Кеплера. Так что этот подход работает.

---

Я думаю, что это представление справедливо только в том случае, если вы строите его с вращающейся точки наблюдения, т.е. стоите на планете и все время смотрите на солнце. Наш репетитор сказал, что это со статической (по отношению к солнцу) точки наблюдения.

Во вращающейся системе у вас есть центробежная сила, но в этом смысле это не настоящая сила. Итак, говоря, что у вас есть центробежная сила, я думаю, что вы находитесь во вращающейся системе отсчета. А во вращающейся системе координат планета вообще не движется. И, не двигаясь в этой вращающейся системе отсчета, он вращается вокруг солнца в статической системе отсчета. Поскольку планета не движется, на нее не должно действовать никакой силы. Построение силового равновесия является способом достижения этого.

Но наш наставник сказал мне, что и в статической системе отсчета существует равновесие сил. Я говорю, что если у вас есть равновесие, нет чистой силы, поэтому планета движется только по прямой линии в статической системе отсчета. Затем мне сказали, что, хотя чистой силы нет, силы все же есть.

В этот момент я думаю, что это преобразование динамики в статику путем добавления противодействующих сил, так что все уравновешивается.

Скажем, у нас есть чистая сила (гравитация) на планете.

http://wstaw.org/m/2011/11/15/m10.png

Эта сила примерно такая, если планета вращалась$\theta$вокруг солнца:

$$\vec{F_G} \propto \left( \begin{matrix} -\cos(\theta) \\ -\sin(\theta) \end{matrix} \right)$$

Если вы интегрируете это, вы получите скорость и положение планеты.

$$\int \vec{F_G} \, \mathrm d\theta \propto \left( \begin{matrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{matrix} \right)$$

Это кажется очень хорошим, так как он движется по окружности, так что это тангенциальная скорость.

$$\iint \vec{F_G} \, \mathrm d\theta \propto \left( \begin{matrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{matrix} \right)$$

И это просто положение вокруг единичного круга.

Вы можете заменить$\theta$с$\omega t$если вы хотите выразить угол со временем.

Итак, я утверждаю, что вам нужна результирующая сила, чтобы круговая траектория вообще появилась. Мой наставник сказал мне, что если сила слишком велика (слишком слаба), планета будет вращаться по спирали (от) Солнца, и поэтому равновесие должно быть. Это не имеет смысла для меня. Для меня имеет смысл то, что если траектория отклоняется слишком сильно (недостаточно), чтобы сформировать круг, круга нет.

---

Если у вас нет силы, интеграция получается совсем другой:

$$F = 0$$

$$\int F \, \mathrm dt = \underbrace{0t}_{a=0} + \underbrace{c_1}_{v_0}$$

$$\iint F \, \mathrm dt = \underbrace{0t^2}_{a=0} + \underbrace{c_1t}_{v_0} + \underbrace{c_2}_{d_0}$$

Последний твой$d = v_0 t + d_0$, который моделирует линейное движение без ускорения. Во вращающейся системе$v_0$просто ноль, и это работает. В статической системе это означало бы, что планета либо остается неподвижной, либо движется по прямой линии, чего на самом деле не происходит.

---

Итак, я утверждаю, что у вас не должно быть равновесия сил, чтобы Земля могла вращаться, — это основное разногласие, которое у нас есть.

Кто прав? Или мы оба правы, просто по-разному смотрим на одну и ту же проблему?