Влияние возрастающей массы на баланс между центростремительной и центробежной силами

Пока вы добавляете массу таким образом, что это не влияет на ее скорость, орбита не меняется (ваша звезда также должна быть зафиксирована).

Допустим, планета (масса$M$) вращается в радиусе$R$, о звезде массы$M_\star$. Орбитальная скорость

$$v_1=\sqrt{\frac{GM_\star}{R}}$$ . Теперь в комментариях вы заявили, что добавили массу таким образом, что это не влияет напрямую на ее скорость. Поскольку импульс сохраняется, единственный способ сделать это — добавить добавленную массу $m$скорость $v_1$а также в то время, когда он достигает планеты. Как видите, когда планета захватывает массу, нет изменения углового момента ( $mv_1R+Mv_1R=(m+M)v_1R$). Теперь, поскольку угловой момент не изменился, он будет двигаться по орбите с той же угловой скоростью. Если его угловая скорость одинакова, то и радиус такой же. Таким образом, он остается на стабильной орбите. Это можно получить непосредственно из $v_1=\sqrt{\frac{GM_\star}{R}}$также.

Что, если масса покоилась и была захвачена? Ну, тогда по закону сохранения импульса скорость уменьшится до$v_2$. Поскольку скорость уменьшилась, он выйдет на эллиптическую орбиту. Если бы скорость увеличилась, орбита могла бы быть эллиптической, но она может быть гиперболической (больше космической скорости) и также покинуть систему. Это зависит от соотношения масс.

Если центральная масса не была зафиксирована, то массы вращаются вокруг центра масс (барицентра), а орбитальная угловая скорость определяется выражением$\omega=\sqrt{\frac{G\mu}{R^3}}$(обратите внимание, что в данном случае я использую угловую скорость, поскольку звезда и планета будут иметь разные скорости).$R$расстояние между объектами и$\mu=\frac{MM_\star}{M+M_\star}$это приведенная масса. Можно видеть, что может произойти множество вещей, в зависимости от того, как вы добавляете малую массу и от соотношения между тремя массами. Вы можете проанализировать это самостоятельно (поскольку это не является частью вопроса, и это довольно интересное упражнение)

Орбита планеты не зависит от массы, пока масса мала по сравнению со звездой, вокруг которой она вращается, т.е. она существенно не меняет центр масс системы звезда-планета. Таким образом, изменение массы на величину, малую по сравнению с массой звезды, мало что изменит.

Планеты, очевидно, немного двигают свою звезду, потому что именно так были открыты первые внесолнечные планеты, т. е. путем обнаружения того, что их звезда двигалась по мере того, как планета вращалась вокруг нее. Однако этот эффект довольно мал, если только мы не говорим о планете размером с Юпитер, вращающейся очень близко к звезде.

Я предполагаю, что масса добавляется с той же скоростью, что и планета.

Рассмотрим сначала случай, когда масса планеты может быть большой. Позволять${\bf r}$быть относительным положением и$\mu = \frac{M m}{M+m}$быть приведенной массой. Второй закон принимает вид

$$\mu \ddot {\bf r} = {\bf F}_{\mathrm{int}} = -\frac{G M m}{r^3} {\bf r},$$ так $$\ddot {\bf r}= -\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{G M}{r^3} {\bf r}.$$

Ради аргумента предположим, что орбита изначально круговая. Можно видеть, что если$m$увеличивается, тела будут иметь тенденцию быть ближе друг к другу. (Увеличение$m$на самом деле эквивалентно увеличению$G$.) Орбита станет эллиптической.

Аналогично, если$m$уменьшается, тела будут отдаляться друг от друга. На самом деле орбиты станут более круговыми. Планета никогда не убежит.

Если начальная и конечная массы планеты пренебрежимо малы,

$$\ddot {\bf r}= -\frac{G M}{r^3} {\bf r}.$$ Таким образом, на движение планеты не влияет добавление массы. Конечно, это всего лишь принцип эквивалентности.

Я нарисую картинку, чтобы проиллюстрировать это позже.

Движение в центральном гравитационном поле описывается следующим уравнением:

$$\frac{M\dot{r}^2}{2} - \frac{M\alpha}{r} + \frac{M\beta^2}{2r^2} = E = \text{const} \qquad (1)$$ где $$\alpha = M_\text{star}G$$ $$\beta = \frac{L_z}{M} = \frac{[\vec{r}\times\vec{v}]_z}{M} = \text{const}$$

Когда масса планеты$M$увеличивается на$m$без изменения скорости уравнение (1) принимает вид

$$\frac{(M+m)\dot{r}^2}{2} - \frac{(M+m)\alpha}{r} + \frac{(M+m)\beta^2}{2r^2} = E + \frac{mv_0^2}{2} - \frac{m\alpha}{r_0} = \text{const}$$ где $v_0$и $r_0$– скорость и положение планеты в момент изменения ее массы.

Эффективная потенциальная энергия

$$U(r) = -\frac{M\alpha}{r} + \frac{M\beta^2}{r^2}$$ масштабируется по коэффициенту $(1+m/M)$но не меняется качественно.

Полная энергия для конечного движения отрицательна, т.е.$E<0$.

Новая траектория зависит от изменения энергии

$$\Delta E = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{m\alpha}{r_0}$$

Если$E + \Delta E \geq 0$затем траектория становится бесконечной и планета улетает. В противном случае он остается на орбите.

Можно найти изменение орбиты, сравнивая факторы$(1+m/M)$и$(1+\Delta E / E)$.