Уравнение Шредингера для атома водорода

Question

Уравнение Шредингера для атома водорода

Марек

У меня возникла проблема с пониманием значения оператора Лапласа в уравнении Шрёдингера для атома водорода.

(- \frac{ℏ^{2}}{2 м_{е}} Δ_{р_{е}} - \frac{ℏ^{2}}{2 М_{п}} Δ_{р_{п}} + В (р)) Ψ (р_{е}, р_{п}) "=" Е Ψ (р_{е}, р_{п})

$\Big(-\frac{\hbar^2}{2m_e} \Delta_{r_e} - \frac{\hbar^2}{2M_P} \Delta_{r_p} +V(r) \Big)\Psi(r_e,r_p) = E \Psi(r_e,r_p)$

Что именно это делает $\Delta_{r_e}$ иметь в виду? я только знаю $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ . Так что меня немного смущает индекс $\Delta$ . И что делает $\Psi(r_e,r_p)$ выглядит как?

После введения барицентра и относительных координат (не уверен, что этот перевод правильный) уравнение Шредингера записывается как:

(- \frac{ℏ^{2}}{2 (м_{е} + М_{п})} Δ_{_{р}} - \frac{ℏ^{2}}{2 мю} Δ_{р} + В (р)) Ψ (р, р) "=" Е Ψ (р, р)

$\Big(-\frac{\hbar^2}{2(m_e+M_p)} \Delta_{_{R}} - \frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta_{r} +V(r) \Big)\Psi(r,R) = E \Psi(r,R)$ С:

р "=" \frac{м_{е} \vec{р_{е}} + М_{е} \vec{р_{п}}}{м_{е} + М_{п}}

$R=\frac{m_e \overrightarrow{r_e} + M_e \overrightarrow{r_p}}{m_e + M_p}$

мю "=" \frac{м_{е} М_{п}}{м_{е} + М_{п}}

$\mu = \frac{m_eM_p}{m_e+M_p}$

Та же проблема, что это делает $\Delta_{_{R}}$ точно означает, и что означает $\Psi(r,R)$ выглядит как? И что произойдет, если я использую $\Delta_{_{R}}$ на $\Psi(r,R)$ ?

Ответы (2)

Уравнение Шредингера для атома водорода

Тимей · Answer 1

Что именно делает $\Delta_{r_e}$ иметь в виду ?

Ваша волновая функция — это не поле в пространстве, это поле в конфигурационном пространстве, т. е. она присваивает конфигурации комплексные числа. Если ваш электрон находится в $(x_e,y_e,z_e)$ и ваш протон находится в $(x_p,y_p,z_p)$ тогда конфигурация - это точка $(x_e,y_e,z_e,x_p,y_p,z_p)$ в 6d пространстве. Точка в этом шестимерном пространстве говорит вам, где находятся обе частицы, она сообщает вам конфигурацию.

Итак, поскольку это шестимерное пространство, есть шесть направлений, в которых вы можете брать производные: $\partial/\partial x_e,$ $\partial/\partial y_e,$ $\partial/\partial z_e,$ $\partial/\partial x_p$ $\partial/\partial y_p,$ и $\partial/\partial z_p.$

$\Delta_{r_e}$ равно

\frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}_{е}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial у_{е}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial г_{е}^{2}} .

$\frac{\partial^2}{\partial x_e^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_e^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_e^2}.$

Сходным образом

Δ_{р_{п}} "=" \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}_{п}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial у_{п}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial г_{п}^{2}} .

$\Delta_{r_p}=\frac{\partial^2}{\partial x_p^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_p^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_p^2}.$

Таким образом, каждый берет производные только в трех из этих шести направлений.

Если вы переключаете координаты (например, на $\vec r,$ $\vec R$ тогда у вас все еще есть шесть координат, потому что это все еще шестимерное пространство, и вы можете разбить их на две группы по три и взять лапласиан каждой группы.

Что это $\Psi(\vec r,\vec R)$ выглядит как ? Разделение переменных дает свободную частицу в $R$ и обычный раствор атома водорода (с уменьшенной массой) в $r$ . Так, например, если для свободной частицы существует плоская волна с фиксированным импульсом $e^{i\vec P \cdot \vec R}$ и пусть $\Phi_n(\vec r)$ быть энергетическим собственным состоянием атома водорода (с уменьшенной массой). Тогда мы можем рассмотреть $\Psi(\vec r, \vec R)=e^{i\vec P \cdot \vec R}\Phi_n(\vec r).$

Что значит $\Psi(r_e,r_p)$ выглядит как ?

$\Psi(r_e,r_p)=e^{i\vec P \cdot (m_e\vec r_e+M_p\vec r_p)/(m_e+M_p)}\Phi_n(\vec x_e-\vec x_p).$

Если вы хотите, чтобы его можно было нормализовать, вам нужно использовать комбинации с разными $\vec P$ чтобы получить движение волнового пакета для центра масс.

Любопытный Разум · Answer 2

Индекс лапласиана говорит вам, на какую из координат он действует, то есть если вы напишете $r = (r_x,r_y,r_z)^T$ и $R = (R_x,R_y,R_z)^T$ как декартовы координаты, то

\begin{aligned} Δ_{р} & "=" \frac{\partial^{2}}{\partial {р_{Икс}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {р_{у}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {р_{г}}^{2}} \\ Δ_{р} & "=" \frac{\partial^{2}}{\partial {р_{Икс}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {р_{у}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {р_{г}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \Delta_r & := \frac{\partial^2}{\partial {r_x}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {r_y}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {r_z}^2} \\ \Delta_R & := \frac{\partial^2}{\partial {R_x}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {R_y}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {R_z}^2} \end{align}$

Спасибо, это то, что я хотел знать. Не могли бы вы также рассказать мне, как соответствующие $\Psi(r,R)$ функция выглядит?
@Mareck: Ты имеешь в виду решение? Нет, я не запомнил решения.

Уравнение Шредингера для атома водорода

Марек

Ответы (2)

Тимей

Любопытный Разум

Марек

Любопытный Разум

Кто-нибудь опубликовал процедуру обобщения лестничных операторов для любого потенциала в уравнении Шрёдингера?

Оператор кинетической энергии в квантовой механике

Оператор в квантовой механике

Проблемы с ассоциативностью операторов в квантовой механике

Связывание операторов Гейзенберга и Шрёдингера

Доказательство теоремы Эренфеста

Кто-нибудь может пояснить, что должно и не должно быть оператором в моей проверке одномерного решения СЭ для свободной частицы?

Применение оператора к волновой функции по сравнению с (кет) вектором

Замена квантового гармонического осциллятора

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом