Кто-нибудь может пояснить, что должно и не должно быть оператором в моей проверке одномерного решения СЭ для свободной частицы?

Я только что разработал одномерное решение уравнения Шредингера для свободных частиц.

Моя волновая функция была

ψ ( Икс , т ) "=" А е я ( п Икс − Е т ) / ℏ
Поэтому я подставил это в обе части зависящего от времени уравнения Шредингера и начал проверять. Я делал LHS и RHS отдельно.
Я тогда закончил с
я ℏ ∂ ∂ т ψ "=" 1 2 п 2 м ψ

который выглядит как правильная форма для раствора свободных частиц.

Моя путаница

Я не понимаю, куда делись операторы. Обычно, когда я вижу гамильтониан, определенный в зависящем от времени SE, он читается

я ℏ ∂ ∂ т ψ "=" ЧАС ^ ψ "=" 1 2 п ^ 2 м ψ

Но мой ответ, похоже, без шляпы. Выше я определил п "=" ℏ к что представляет собой соотношение де Бройля. Но в статье, из которой я получил исходную волновую функцию, не говорилось, что мне нужно сделать п в ψ ( Икс , т ) "=" А е я ( п Икс − Е т ) / ℏ оператор. Так что я запутался, что должно и не должно быть оператором.

Мой вопрос:

Кто-нибудь может пояснить, что должно и не должно быть оператором в моей проверке одномерного решения СЭ для свободной частицы?

Ответы (1)

Ваше решение верное. Что вы получаете, подтверждая это, так это то, что ψ также является собственной функцией оператора импульса, что означает

п ^ ψ "=" п ψ ,

где п ^ "=" − я ℏ ∇ оператор импульса, а п является его собственным значением.

Теперь, применяя п ^ дважды и разделив на 2 м , вы можете получить

1 2 м п ^ 2 ψ "=" 1 2 м п 2 ψ ,

что является еще одной формой независимого от времени уравнения Шредингера для свободной частицы:

1 2 м п ^ 2 ψ "=" Е ψ .

Здесь Т ^ "=" 1 2 м п ^ 2 - оператор кинетической энергии, а Е — его собственное значение, т. е. энергия частицы в этом собственном состоянии ψ .

Все ли решения уравнения Шредингера являются собственными функциями? Я предполагаю, что нет. Как узнать, является ли данное решение SE собственной функцией?
Все решения стационарного уравнения Шредингера с соответствующими граничными условиями являются собственными функциями гамильтониана — это по построению. Что касается нестационарного СЭ, то решением может быть выбрана собственная функция оператора сохраняющейся величины в данной задаче. В вашем случае эта сохраняющаяся величина есть импульс. Если вам довелось выбрать решение как грех вместо опыт , этот выбор будет соответствовать сохранению четности (т. е. такая функция имеет определенную четность), в то время как ваш первоначальный выбор имеет определенный импульс п .
Кто-нибудь может пояснить, что должно и не должно быть оператором в моей проверке одномерного решения СЭ для свободной частицы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v