При расчете характеристик самолета на разных высотах полезными являются две переменные: коэффициент плотности воздуха (dr) и температура (T). Использование коэффициента полезно, поскольку вы можете повторно вычислить такие значения, как динамическое давление (Q), просто умножив значение уровня уплотнения на коэффициент. И независимо от того, какие единицы вы используете для представления плотности воздуха, вы можете вычислить это значение, умножив значение этой единицы на уровне моря на отношение.
Таблицы Международной стандартной атмосферы (МСА) содержат стандартные значения этих переменных на разных высотах (h), указанные как в метрах, так и в футах. Эти таблицы были приняты Международной организацией гражданской авиации (ИКАО) и содержатся в документе ICAO Doc 7488/3. Стандартная атмосфера США практически идентична.
Существуют ли простые уравнения, которые я могу использовать в электронной таблице Excel для расчета коэффициента плотности воздуха и температуры в единицах СИ и единицах США, которые согласуются с таблицами ISA?
Да, есть уравнения, которые могут дать вам значения, которые согласуются со значениями в таблицах ISA вплоть до ближайшей 100 000-й (пять цифр), используя геопотенциальные высоты.
Различные уравнения применяются к тропосфере, которая простирается от уровня моря до 11 000 метров (36 089 футов с округлением), тропопаузе, которая простирается до 20 000 метров (65 617 футов с округлением), и части стратосферы до 30 000 метров (98 425 футов с округлением). ). Это значительно выше высоты, на которой крылья теряют эффективность.
Поскольку отношение давлений связано с отношением плотностей и отношением температур и поскольку отношение температур легко вычисляется, я добавляю вычисления для отношения температур и отношения давлений.
Уравнения описываются с помощью операторов Excel, таких как * для умножения и ^ для возведения в степень, и функций Excel, таких как EXP для e, возведенного в указанную степень. Единицы описываются стандартными обозначениями, такими как ft для футов, m для метров, s для секунды и kg для килограмма. В обозначениях не используется верхний индекс, поэтому метры в квадрате равны м2 и т. д. Я использую P для давления, p для плотности, Tr для отношения температур, pr для отношения плотностей, Pr для отношения давлений и L для градиента.
1. ТЕМПЕРАТУРА И СООТНОШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР
Уравнения для расчета стандартной температуры довольно просты, и результаты точно согласуются с таблицами. Соотношение температур можно вычислить, вычислив температуру Кельвина и разделив результат на 288,15 К. Таким образом, мы включим уравнения для вычисления T(K) в единицах США.
а. Тропосфера
В тропосфере основное уравнение:
T = T0 - L * h
, где T0 — температура на уровне моря, L — градиент, а h — высота.
В единицах СИ T0 составляет 15 градусов по Цельсию (15°C) или 288,15 градусов по Кельвину (288,15K), X — 0,0065, а h — в метрах. Уравнения:
T(C) = 15(C) - (0,0065(C) * h(m))
T(K) = 288,15(K) - (0,0065(K) * h(m))
В американских единицах измерения T0 составляет 59 градусов по Фаренгейту (59F), X — 0,00356616F, а h — в футах. Уравнение:
T(F) = 59(F) - (0,00356616(F) * h(ft))
T(K) = 288,15(K) - (0,0,0019812(K) * h(f))
б. тропопауза
В тропопаузе температура постоянна.
В единицах СИ:
T(C) = -56,5C
(TK) = 216,65K.
В единицах США:
T(F) = -69,7F
(ТК) = 216,65K.
в. стратосфера
В стратосфере температура увеличивается с высотой. Основное уравнение:
T = T20 + L * (h - h20)
, где T20 — базовая температура, L — градиент, а h20 — базовая высота.
В единицах СИ T20 равно -56,5C или 216,65K, X равно 0,001, h0 равно 20000 метров. Уравнения:
T(C) = -56,5(C) + (0,001(C) * (h(m) - 20000))
T(K) = 216,65(K) + (0,001(K) * (h(m) )) - 20000))
что можно упростить до:
T(C) = -76,5(C) + (0,001(C) * h(m))
T(K) = 196,65(K) + (0,001(K) * (ч (фут))
В американских единицах измерения T20 составляет -67,7F, X составляет 0,00054864, а h0 составляет 65 617 футов. Уравнения таковы:
T(F) = -69,7F + 0,00054864 *(h(ft) - 65617)
T(K) = 216,65(K) + (0,0003048(K) * (h(m)) - 65617)),
что можно сократить до:
T(F) = -105,7F + 0,00054864 * h(ft)
T(K) = 196,65(K) + (0,0003048(K) * (h(ft))
2. ОТНОШЕНИЕ ПЛОТНОСТИ
Уравнения для расчета стандартного коэффициента плотности более сложны, но результаты (с дополнительными улучшениями) согласуются с таблицами с точностью до 0,00001.
а. Тропосфера
В тропосфере основная форма уравнения одинакова в единицах СИ и США:
pr = a ^ b
, где A — индекс температуры (в градусах Кельвина), а показатель степени b равен 4,2561.
Если высота измеряется в метрах, стандартное уравнение выглядит следующим образом:
pr = (1 - (0,0065 * h(m) / 288,15)) ^ 4,2561
Вы можете улучшить результаты, изменив показатель степени следующим образом:
d = (1 - (0,0065 * ч(м) / 288,15)) ^ 4,25587971
Если рост измеряется в футах, стандартное уравнение выглядит следующим образом:
pr = (1 - (h(ft) * 0,0019812/288,15)) ^ 4,2561
Вы можете улучшить результаты, изменив показатель степени следующим образом:
pr = (1 - (h(h(ft)) * 0,0019812/288,15)) ^ 4,2561. футов) * 0,0019812/288,15)) ^ 4,255882
б. тропопауза
В тропопаузе основное уравнение:
pr = dr11 / exp((h - h11) * g / (R * T11)) где dr11 - коэффициент плотности в начале тропопаузы (0,297076), h11 - основание высота, g — ускорение свободного падения, R — удельная газовая постоянная для сухого воздуха, а T11 — базовая температура (216,65 К). Поскольку g, R и T11 являются константами, их можно объединить в одну константу (X). Пересмотренное уравнение:
pr = 0,297076 / exp(X * (h - h11))
В единицах СИ g равно 9,80665 футов с2, R равно 287,05287 м2/с2, а h11 равно 11 000 метров. Таким образом, X равно 0,000157689. Уравнение:
pr = 0,297076 / exp(0,000157689 * (h(m) - 20 000))
которое можно сократить до:
pr = 0,297076 / exp(0,000157689 * h(m) - 1,734579))
В единицах измерения США g равно 32,1740486, R равно 3089,8113775 фут2/с2, а h11 равно 36 089 футов. Таким образом, X равно 0,000048063. Уравнение:
pr = 0,297076 / exp(0,000048063 * (h(ft) - 36,089))
которое можно сократить до:
pr = 0,297076 / exp(0,00004806346 * h(ft) - 1,734546))
в. стратосфера
В стратосфере мы должны сначала вычислить температуру Кельвина.
В единицах СИ уравнение выглядит так:
T(K) = 196,65(K) + (0,001(K) * (h(m))
В единицах США уравнение выглядит так:
T(K) = 196,65(K) + (0,0003048 (К) * (ч (фут))
Основное уравнение для вычисления высоты по плотности: pr = (P20/(p0 R T(K)*(T(K)/216,65)^34,1632)) где P20 — базовое атмосферное давление, p0 — плотность воздуха на уровне моря. R – удельная газовая постоянная для сухого воздуха. Поскольку это константы, их можно объединить в одно значение (X). Модифицированное уравнение:
pr = (X / (T (K) * (T (K) / 216,65) ^ 34,1632))
В единицах СИ P20 равен 5474,9 Н/м2, p0 равен 1,225 кг/м3, а R равен 287,05287 м2/с2. В единицах США P20 равен 114,345664 фунта/фут2, p0 равен 0,0023769 слгс/фут3, а R равен 3089,8113775 фут2/с2. Таким образом, в обоих случаях X равно 15,569627, что означает, что мы можем использовать одно и то же уравнение как для целей SI, так и для США:
pr = (15,569627/(T(K)*(T(K)/216,65)^34,1632))
3. ОТНОШЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ Уравнение для расчета отношения давлений:
Pr= Tr*pr.
Уравнение для расчета соотношения температур:
Tr=T(K)/288,15.
Мы включили уравнения для расчета T(K) как в единицах СИ, так и в единицах США. Получив отношение температур, вы можете использовать отношение плотностей и приведенную выше формулу для вычисления отношения давлений как в единицах СИ, так и в единицах США.
РЕЗЮМЕ
Единицы СИ
Тропосфера (от 0 до 11 000 метров):
T(C) = 15(C) - (0,0065(C) * h(m))
T(K) = 288,15(K) - (0,0065(K) * h(m) )
пр = (1-(0,0065*ч(м)/288,15))^4,25587971
Тропопауза (от 11 000 до 20 000 метров):
T(C) = -56,5C
T(K) = 216,65K
pr = 0,297076/exp(0,000157689*h-1,734579)):
Стратосфера (от 20 000 до 30 000 метров)
T(C) = -76,5(C) + (0,001(C) * h(м))
T(K) = 196,65(K) + (0,001(K) * (h(м) ))
пр = (15,569627/(Т(К)*(Т(К)/216,65)^34,1632))
Единицы США
Тропосфера (от 0 до 36 089 футов):
T(F) = 59(F) - (0,00356616(F) * h(ft))
pr = (1-(h(ft)*0,0019812/288,15))^4,255882
Тропопауза (от 36 089 до 65 617 футов):
T(F) = -69,7F
T(K) = 216,65K
pr = 0,297076/exp(0,00004806346*h(ft)-1,734546))
Стратосфера (от 65 617 до 98 425 футов):
T(F) = -105,7F + 0,00054864 * h(ft)
T(K) = 196,65(K) + (0,0003048(K) * (h(ft))
pr = (15,569627 /(Т(К)*(Т(К)/216,65)^34,1632))
ИСХОДНЫЕ ДОКУМЕНТЫ
Вот ссылки на таблицы ISA и книги Excel , которые я использовал для проверки этих уравнений.