В чем именно заключается взаимосвязь и каковы различия между многопараметрическими пределами и сложными пределами?

Изменить : этот вопрос неверен. Игнорируй это. Я уже пометил запрос на удаление. Пожалуйста, просто перейдите к этому вопросу: в чем именно разница между реальными многовариантными ограничениями и сложными ограничениями?

Скажем, вы хотите опровергнуть существование любого из ff$\lim_{z \to 0} \frac{Re(z)}{|z|^2}$,$\lim_{z \to 0} \frac{Im(z)}{|z|^2}$(как здесь ). Кажется, мы просто меняем ограничения на$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x \ \text{or} \ y}{x^2+y^2}$а затем пойти по этому пути calc2.

1. Таким образом, правило состоит в том, что сложный предел не существует, если$\mathbb R^2$лимит не существует? В общем, для $$\lim_{z \to z_0}[u(z)+iv(z)] \ \text{vs} \ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}[u(x,y)+iv(x,y)],$$

где$u$и$v$являются реальными функциями, значит ли это, что LHS не существует, если не существует RHS?

• Здесь RHS по теореме или по определению равна $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}u(x,y)+i\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}v(x,y)$$

2. НО, если правая часть существует, то левая может существовать, а может и не существовать, т.е. существование реального предела необходимо, но недостаточно для существования сложного предела? Пожалуйста, приведите примеры.

Примечание . Пока я просто говорю о реальных функциях.$u,v$без указания конкретных доменов и надеюсь, что вышеизложенное имеет смысл. Если нужно, я могу отредактировать этот вопрос, чтобы уточнить$u,v,z_0$, и т. д.

Связанные вопросы :

Я нашел несколько вопросов, в которых говорится о взаимосвязи сложной производной и реальной производной, но я не совсем вижу общий случай/концепцию сложных и реальных пределов.

Различия между комплексной производной и многомерной производной.

Отличие свойств дифференциации в$\mathbb{C}$и$\mathbb{R}^2$

Скалярное поле Производная. Реальное против сложного

Предельное определение функции, которая$\mathbb{R}$-дифференцируемый, но не$\mathbb{C}$дифференцируемый.