Вернемся к горизонтальной стойке блоков, иначе говоря, если бы она была на вершине лавы, на какой блок вы бы встали?

Блоки отвлекают внимание. Вы можете воспользоваться интуитивно понятным ярлыком для решения проблемы.

Заменим эту задачу

с этим

В любом случае общий вес$N \cdot W_{block} = W_{board}$. Восходящая сила трения на каждом конце должна быть$W_{board}/2$.

Теперь вы добавлены на доску. Если вы находитесь в центре, вес на каждом конце равен$(W_{board} + W_{you})/2$.

Если вы находитесь рядом с левым концом, силы трения должны быть примерно$F_{left} = W_{board}/2 + W_{you}$и$F_{right} = W_{board}/2$.$F_{left}$больше, чем раньше. Таким образом, эта конфигурация, скорее всего, выйдет из строя. Стоять по центру безопаснее.

---

Все идет нормально. Но если вы хотите получить оценку за домашнее задание о диаграммах свободного тела, вам нужно будет использовать диаграммы свободного тела, чтобы оправдать свою интуицию.

Предыдущие ответы показали, что восходящая сила трения должна быть достаточно сильной, чтобы удерживать вес блоков. Внешние блоки должны удерживать внутренние блоки. Таким образом, самые внешние блоки имеют самые высокие силы трения.

Вот диаграмма, показывающая силы, действующие на каждый блок, когда вы находитесь в центре. Обратите внимание, что восходящие силы на центральном блоке достаточно велики, чтобы противодействовать$W_{block} + W_{you}$.

Я не хочу полностью решать проблему с домашним заданием. Вы видите, как бы это изменилось, если бы вы были в центре левого блока?

---

Редактировать - Обращаясь к крутящим моментам и интуиции, что центр является самым слабым.

Интуитивное предположение, что центр является самым слабым, вполне разумно. Если бы вы положили доску через щель, центр был бы самым слабым. Но это другая ситуация, чем эта.

Доска сломалась бы, если бы сила стала слишком большой. Мы можем понять это с точки зрения крутящих моментов. Считайте доску двумя половинками, прочно прикрепленными друг к другу. Каждая половина не вращается, если общий крутящий момент на ней равен$0$. Мы предполагаем, что концы поддерживаются достаточно хорошо, чтобы они не двигались. Подробнее об этом см. в разделе Опрокидывание цилиндра на блоке .

Это показывает силы на левой половине доски.

Синяя сила — это вес половинки доски. Черная сила — это реакция опоры, удерживающей половину веса доски. Если бы другой половины доски не было, этот крутящий момент вращал бы левую половину по часовой стрелке.

Но оно присутствует. Верхняя часть левой половины не может вращаться, не сжимая себя и верхнюю часть правой половины. Две половинки сильно прижимаются друг к другу. Верхняя красная сила — это сила, с которой правая половина действует на левую.

Низ находится под напряжением. Две половинки тянут друг друга. Нижняя красная сила показывает, что право тянет слева.

Доска ломается, если красные силы сильнее внутренних сил, удерживающих молекулы вместе.

Эта диаграмма является идеализацией. Красные силы действительно будут распределены внутри доски, подобно тому, как вес на самом деле является суммой весов каждого атома.

Совершенно жесткая доска будет полностью сжата. Настоящая доска провиснет. Величина сжатия и натяжения будет зависеть от величины провисания. Например, планка, сделанная из ириски или обтягивающей ткани, будет полностью натянута и прогнется в глубокую U-образную форму.

---

Предположим, вы стоите на левой полупланке. Вы добавляете крутящий момент, которому должна сопротивляться планка.

Если вы стоите возле опоры, большая часть вашего веса приходится на левую половину. Но крутящий момент мал, потому что расстояние от опоры мало. Вы максимизируете крутящий момент, стоя в середине планки.

Ничего себе, я видел, как эта проблема обсуждалась в течение нескольких дней, и я думал: «Почему эта проблема с блоками в старшей школе так популярна?», И никогда не удосужился прочитать ее внимательно. Но когда я, наконец, сделал это, я думаю, что проблема превосходна.

В системе могут возникать два типа нестабильности. Во-первых, это недостаточная сила трения для предотвращения скольжения моста (что в основном рассматривалось здесь). Второй тип неустойчивости – это неспособность нормальных сил создать необходимый крутящий момент. Эта нестабильность не рассматривалась здесь другими людьми, и именно об этом в основном этот ответ.

Что касается провала силы трения, как многие заметили, самые высокие требования к силе трения предъявляются по краям, и чем ближе человек к стене, тем большую часть веса человека будет нести стена, и тем легче трение об эту стену прекратится. Чтобы предотвратить такую ​​неустойчивость, лучше стоять посередине, чтобы обе стены разделяли одинаковую долю веса.

Что касается нестабильности крутящего момента, рассмотрим очень похожую проблему с OP. Предположим, что мост состоит всего из двух блоков неравной длины.$l$и$L-l$установил точно как на картинке:

Эта задача очень похожа на исходную задачу с блоками, но некоторые кубики эффективно «склеены». Даже если коэффициент трения сколь угодно высок, такая система все равно может разрушиться, образовав трещину между блоками, и оба блока «перевернутся», как на картинке. Устойчивость исходной системы многих кубов можно проанализировать, отыскав самое слабое место, т. е. отыскав наиболее легкое место образования трещины в двухблочной картине.

В системе двух блоков существует максимальный вес оттяжки, которую может нести мост. Мы можем найти максимальный вес, записав баланс крутящих моментов и сил для двух блоков. Следующая система представляет собой два уравнения нулевого крутящего момента вокруг нижних углов блоков, которые прижимаются к стене (левый и правый соответственно):

$$\begin{cases} -W\frac{l}{L}\frac{l}{2}+Nd+F_m l-x \omega=0;\\ -W\frac{L-l}{L}\frac{L-l}{2}+Nd-F_m (L-l)=0; \end{cases}$$ Здесь$W$общий вес моста,$N$сила, с которой мы сжимаем оба блока,$d$высота моста и$x$это позиция справа, где стоит человек. Решение для$\omega$урожаи $$\omega=\frac{l}{x}\left[Nd\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{L-l}\right)-\frac{W}{2}\right].\quad (1)$$

Для фиксированного положения трещины$l$, критический вес$\omega$больше, чем меньше$x$есть, т.е. чем дальше от трещины стоит человек. В случае, когда есть много мест для появления трещины (как в случае с кубами), безопаснее держаться подальше от всех трещин (что соответствует здравому смыслу). Также, как видно, если$x\rightarrow 0$, максимальный вес стремится к бесконечности, что логично, так как человек не создает никаких крутящих моментов вокруг точки вращения в точке$x=0$.

Мы также можем заметить, что если мы стоим на трещине, т.е.$x=l$, критический вес

$$\omega=Nd\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{L-l}\right)-\frac{W}{2},\quad (2)$$ что является наименьшим для$l=L/2$, и увеличивается к краям. Другими словами, трещины по краям более безопасны.

Интересно . Мы видим из уравнения (1), иногда правая часть уравнения может оказаться отрицательной, а это значит, что мы должны поддерживать мост, чтобы он не развалился. Если число кубиков четное, то самая слабая трещина находится посередине, а для$W>8N d/L$мост развалится сам собой.

Подводя итог всему: у нас есть соревнование двух неустойчивостей: одна — фрикционная неустойчивость, для которой безопаснее стоять посередине моста. Другая нестабильность — нестабильность крутящего момента, при которой безопаснее стоять у края. Определить, какой из них важнее, в общем случае довольно сложно, потому что ответ будет зависеть от соотношения$N/W$, от коэффициента трения$\mu$и от общего количества кубов.

В случае, когда мост очень длинный,$L\gg d$, ясно, что безопаснее стоять у края, так как нормальная сила, необходимая для сохранения устойчивости моста из-за неустойчивости крутящего момента, равна$W L/8d$, в то время как нормальная сила, необходимая для предотвращения скольжения моста, составляет всего$W/2\mu\ll W L/8d$. Другими словами, сила трения меньше на выпуске длинных мостов. С другой стороны, находясь ровно на краю,$x=0$, никогда не является лучшим местом, поскольку критический вес из-за нестабильности крутящего момента бесконечен, а основной причиной нестабильности является трение, а это означает, что можно увеличить критический вес, немного отойдя от края.

Павел в принятом ответе указал, что мост может рухнуть двумя способами. Во-первых, превышено максимальное трение на границе раздела, во-вторых, может появиться трещина. Часть 1) посвящена трению. В части 2) рассматривается случай появления трещины.

Часть 1) Разрушение из-за превышения максимального трения.

Как упоминалось в вопросе, сила трения на концевом блоке,$F_3$, скорее всего, близко к предельному трению. В действительности балка изгибалась бы, но если предположить, что она выходит из строя только из-за превышения предельной силы трения, то это будет происходить так:

Фарчер обнаружил, что$F_3$является$\frac{5W}{2}$. Мы можем получить тот же результат, делая моменты вокруг точки P.

Без лица (веса$kW$)

$0.5W+1.5W+2.5W+3.5W+4.5W - 5F_3=0$

$F_3 = 2.5W$

Человек, стоящий на блоке А

$$0.5W+1.5W+2.5(kW+W)+3.5W+4.5W - 5F_3=0$$

$$F_3 = 2.5W + 0.5kW\tag1$$

Человек, стоящий на блоке B

$$0.5W+1.5W+2.5W+3.5(W+kW)+4.5W - 5F_3=0\tag2$$

$$F_3 = 2.5W + 0.7kW$$

Человек, стоящий на блоке C

$$0.5W+1.5W+2.5W+3.5W+4.5(W+kW) - 5F_3=0\tag3$$

$$F_3 = 2.5W + 0.9kW$$

$F_3$является самым низким для блока А, поэтому безопаснее всего стоять на блоке А.

Осталось только это проверить$F_1$и$F_2$ниже этого. Когда на А два$F_1$силы поддерживают человека и один блок

$$F_1 = 0.5W+0.5kW$$

и два$F_2$силы поддерживают человека и три блока

$$F_2 = 1.5W+0.5kW$$

оба ниже, чем$F_3$, поэтому A является самым безопасным.

Роджер Вуд указывает в ответе на этот вопрос, что ответ зависит от предположения о том, требуется ли коллапсу превышение максимально допустимого трения на одном интерфейсе или на двух интерфейсах.

Выше предполагалось, что если одна граница раздела превысит максимальное трение, произойдет коллапс. На самом деле это может произойти, поскольку будет некоторая сжимаемость или износ, которые вызовут разрушение. Роджер указывает, что если максимальное трение должно быть превышено только на одном интерфейсе, то средний блок, А, является самым безопасным, а если это два интерфейса, то не имеет значения, где вы стоите.

Таким образом, теоретически для несжимаемых блоков вывод, по-видимому, таков, что A безопаснее или что не имеет значения, где вы находитесь.

Часть 2) Разрушение из-за растрескивания.

Теперь предполагается, что стены можно отодвинуть достаточно, чтобы мост рухнул.

По мере того, как трещина начинается и растет, общая горизонтальная длина моста увеличивается, и сила тяжести совершает работу, чтобы раздвинуть стены дальше друг от друга.

Сначала как блок$A$падает на очень маленькое расстояние$h$, общая горизонтальная длина моста становится$1+4\cos\theta + 2 \sin\theta$и$\sin\theta = \frac{h}{2}$. Для малых углов$\cos\theta = 1$, поэтому увеличение длины моста равно$1+4+h-5 = h$. Стенки раздвигаются и совершается работа против сжимающей силы.$N$, также может быть выигрыш в кинетической энергии ,$K.E.$.

Происходит потеря гравитационной потенциальной энергии$(k+1)Wh + 2\times2W\frac{h}{2}$

$$(k+1)Wh+2Wh = Nh + K.E.$$

Может быть запасная энергия для кинетической энергии, т.е. движения вниз, если

$$N< 3W + kW\tag4$$

(когда человек стоит на блоке$A$).

Если мы сравним это с формулой «разрушения трения» (1), то это эквивалентно

$$\mu N < 2.5W + 0.5kW\tag5$$

Представьте себе$N$уменьшается до тех пор, пока мост не рухнет. Будет ли это «обрушение трения» или «обрушение трещины»? Если$\mu$был$1$из (4) и (5) видно, что сначала будет выполняться условие схлопывания трещины (т.к.$N$уменьшено), но если$\mu$был$0.5$это был бы фрикционный коллапс, который произошел первым.

Чтобы выяснить, при каких условиях следует ожидать «схлопывания трения» или «схлопывания трещины», мы можем положить (4) и (5) равными и сделать так, чтобы$k$предмет.

$k= \frac{2.5 - 3\mu}{\mu-0.5}$

График$k$против$\mu$здесь,

https://www.desmos.com/calculator/tbriugxbep

слева от красной линии – обрушение трения, справа – обрушение трещины.

Выполняя аналогичные уравнения для 4) и 5) для стояния на$B$и$C$и найти$k$с точки зрения$\alpha$где$\alpha= \frac{W}{N}$

для A: разрушение трещины, если$k>\alpha - 3$, коллапс трения, если$k>2\mu\alpha-5$

для B: разрушение трещины, если$k>\frac{4}{3}\alpha - 3$, коллапс трения, если$k>\frac{10}{7}\mu\alpha-\frac{25}{7}$

для C: разрушение трещины, если$k>\frac{5}{2}\alpha - 5$, коллапс трения, если$k>\frac{10}{9}\mu\alpha-\frac{25}{9}$

График этих 6 линий здесь

https://www.desmos.com/calculator/qnhueum2zv

Коэффициент трения устанавливается равным$0.4$и может быть изменен.

Представьте, что мы увеличили$k$для данного$\alpha$. Подняв взгляд от нужного$\alpha$на$x$ось, линия, достигнутая первой, означает, что если$k$были увеличены до этого значения, мост этого цвета будет разрушаться в зависимости от того, какая из двух линий встретится. Красные для стояния на блоке$A$, блюз для блока$B$и зелень для блока$C$.

Цвет встречается последним (поднимаясь вверх от$x$ось), показывает, какое положение позволит получить наибольшее значение$k$до коллапса.

Для низких$\mu$лучше стоять на$A$, когда$\mu$достигает$0.7$красный и синий параллельны, но$A$лучший. Для$\mu= 0.8$,$A$лучше всего, если$\alpha<4$, но$B$лучше всего, если$\alpha>4$. От$0.9 - 1.2$,$B$лучше всего и для$\mu > 1.2$,$C$лучший.

Не должно быть льготной блокировки: если система может удерживать лишний вес, неважно, где он размещен; и если он не сможет его удержать, система все равно рухнет.

Это связано с тем, что согласно 3-му закону Ньютона все камни имеют одинаковую горизонтальную силу и, следовательно, одинаковое статическое трение. Предполагается, что все материалы одинаковы (стены и камни) и тверды.

Единственный способ, которым трение разных блоков будет различаться, - это если они будут иметь разное вертикальное положение, потому что площадь соприкосновения с соседями будет разной. При этом самым слабым блоком будет тот, у которого наименьшая площадь контакта с соседями.

Я думаю, что интуиция дает сбой, потому что она пытается извлечь информацию из U-образной формы подвесных мостов. Однако в случае с блоками это невозможно.

[ Редактировать: я оставлю этот ответ для интереса, но он касается другой ситуации, когда блоки поддерживаются силой, приложенной через две вертикальные стены, разделенные фиксированным расстоянием. ]

Ответ зависит от формы зависимости силы трения от приложенной нагрузки на каждом интерфейсе:

Предполагается, что блоки являются идеальными кубами и могут двигаться только вертикально. На каждой поверхности раздела между блоками существует заданная нормальная сжимающая сила, одинаковая для всех границ раздела, и, следовательно, заданная максимальная сила трения, которая может быть воспринята любой границей раздела. Фактические силы трения трения (и присутствующие моменты) различны для каждой поверхности раздела. Мост выходит из строя только в том случае, если поперечная сила превышает максимальное значение на двух интерфейсах, и в этом случае все блоки между двумя интерфейсами (плюс все, кто на них стоит) падают на смерть в огненной лаве!

Ответ зависит от формы зависимости силы трения от приложенной нагрузки на каждом интерфейсе. Выше показаны две крайности. На левом рисунке сила трения полностью исчезает, если приложенная сила превышает максимальную. На правом рисунке сила трения просто перестает увеличиваться при достижении максимума. Реальные системы действуют где-то между этими двумя крайностями.

В случае А блоки падают, как только сила сдвига на одном интерфейсе превышает максимальную, потому что вся нагрузка внезапно передается на второй интерфейс, который затем немедленно выходит из строя. Так что стоять на одном конце моста — плохая идея. Усилие будет максимальным на том конечном интерфейсе, который выйдет из строя, и перенесет полную нагрузку на дальний интерфейс, который также обязательно выйдет из строя.

В случае B блоки упадут, когда силы сдвига на двух поверхностях превысят максимальное значение. Когда первый интерфейс достигает своего максимума, избыточная нагрузка будет перенесена на другие интерфейсы. (Моменты на интерфейсах будут корректироваться соответственно по мере изменения сил.) Система не выйдет из строя, пока второй интерфейс также не достигнет максимальной нагрузки. Суммарная нагрузка (блоки плюс человек) не может превышать удвоенной максимальной силы трения. Неважно, где стоит человек .

После столетий строительства виадуков, мостов, церквей и иглу мы вернулись к исходной точке.

Лавовое озеро в реальной жизни. Арка, поддерживающая конструкцию, проходит от самой низкой точки на обоих концах до самой высокой точки, где бы вы ни стояли. Неважно, что в конечном итоге заставит мост разрушиться, либо «длинный» конец сломается первым из-за сжатия, потому что он имеет наименьший угол между аркой и горизонталью, либо «короткий» конец сломается первым, потому что это первый, который преодолевает трение из-за наименьшего угла между аркой и поверхностью трения. Не зная, что уступит первым, сжатие или трение, сохранение одинаковой длины обоих углов теоретически даст вам наилучшие шансы на выживание, в результате чего вы останетесь посередине.

Мой совет? Не стойте на ненадежных конструкциях над озерами лавы.

Это означает, что самое безопасное место для стояния — на среднем блоке.

Редактировать: Видимо, я перетасовывал вещи, но это не меняет основной идеи. Стоя на одном из крайних блоков, вы играете пятьдесят на пятьдесят, тогда как стояние в середине дает наилучшее среднее значение. Если вы выиграете в азартной игре, ваши шансы на выживание выше, чем в середине. Выживать посередине лучше, только если вы играете неправильно. Что делает его еще лучше, так это шанс упасть или выжить, независимо от того, где вы стоите.