Вопрос о БРСТ-токе в теории бозонных струн

Я не стал приводить все подробности, потому что это было бы слишком долго, но в конце ответа я даю некоторые подсказки.

Я использовал формулы$:T^g: ~= ~:2(\partial c) b + c(\partial b):$и$:\frac{1}{2}cT^g: ~= ~:bc \partial c:$, когда есть неоднозначность в исчислении.

Начнем с:

$$j_B = cT^m+:\frac{1}{2}:cT^g:+\frac{3}{2}\partial^2c=cT^m+:bc\partial c:+\frac{3}{2}\partial^2c \tag{4.3.3}$$

У нас есть$T(z) = (T^m+ T^g)(z)$, мы хотим вычислить ОРЕ$T(z)j_B(0)$.

Обратите внимание, что$T^m$имеет нулевой OPE с призрачными полями$c,b$или$T^g$. Обратите внимание, что$c$имеет голоморфный вес$-1$и$\partial^2c$имеет голоморфный вес$+1$

У нас есть :

$$T(z)j_B(0) = T^m(z)c(0)T^m(0)+T^g(z)c(0)T^m(0) + T^g(z)c(0)T^g(0) \\+ T^g(z)\frac{3}{2}\partial^2c(0) \tag{1}$$ Первый термин: $$T^m(z)c(0)T^m(0)\sim [\frac{c^m}{2z^4} + \frac{2}{z^2}T^m(0)+\frac{1}{z}\partial T^m(0)]~c(0) \tag{2}$$ Второй срок термина: $$T^g(z)c(0)T^m(0) \sim [\frac{-1}{z^2}c(0)+\frac{1}{z}\partial c(0)]~T^m(0) \tag{3}$$ Третий член термина: $T^g(z)c(0)T^g(0) =:2(\partial c(z)) b(z) + c(z)(\partial b(z)): :b(0)c(0) \partial c(0):\tag{4}$

Часть, относящаяся к одному сокращению:

$$\frac{1}{z^2}:b(0)c(0)\partial c(0) :+ \frac{1}{z}:\partial(b(0)c(0)\partial c(0)):\tag{4a}$$

Часть, касающаяся 2 сокращений:

$$-\frac{4c(0)}{z^4}+\frac{3\partial c(0)}{z^3} \tag{4b}$$

Четвертый член термина:$:T^g(z):\frac{3}{2}:\partial^2c(0)): = :2(\partial c) b + c(\partial b):\frac{3}{2}:\partial^2c(0):$, и это дает:

$$\frac{3}{2}[-\frac{6c(0)}{z^4}-\frac{2\partial c(0)}{z^3}+\frac{\partial^2c(0)}{z^2}+\frac{\partial^3c(0)}{z}]\tag{5}$$

Суммируя все условия$(2), (3),(4a), (4b), (5)$, получаем желаемый результат:

$$T(z) j_B(0) \sim \frac{ c^m - 26}{2z^4} c(0) + \frac{1}{z^2} j_B(0) + \frac{1}{z} \partial j_B(0) \tag{4.3.11}$$

---

Некоторые подсказки:

---

Результат$(5)$получается, начиная с:

$$:T^g(z)::c(w): = - \frac{1}{(z-w)^2} c(z) + \frac{2}{z-w} \partial c(z) \tag{6}$$ затем вывод $2$раз относительно $w$, и, наконец, разложение Тейлора $c(z), \partial c(z)$вокруг $w$, и, наконец, положить $w=0$.

---

Результаты$4a$и$4b$достаточно длинные и привередливые, надо помнить, что перед выполнением одного или двух сокращений необходимо переупорядочить члены, а это может дать знак минус из-за антикоммутации в заказанном произведении. Например, если у вас есть$:ab:~:cde:$, а у вас схватка$ac$с сокращением$be$, вы переупорядочиваете$acbed$, у вас есть 2 перестановки, это получит знак$(-1)^2 = 1$