Квантование BRST (Грин, Шварц, Виттен)

Question

Квантование BRST (Грин, Шварц, Виттен)

Хаз

В Green, Schwarz, Witten Volume 1, section 3.2, BRST-квантование представлено в общем виде. Алгебра Ли $G$ определяется элементами

\begin{matrix} (3.2.1) & [К_{я}, К_{Дж}] "=" ф_{я Дж}^{к} К_{к} \end{matrix}

$[K_i,K_j] = f_{ij}{}^k K_k \tag{3.2.1}$ где

f_{i j}^{k}

$f_{ij}{}^k$ является структурной константой. Антипризраки

b_{i}

$b_i$ и призраки

c^{i}

$c^i$ преобразуются в присоединенном и дуально-присоединенном представлениях соответственно. Они подчиняются

\begin{matrix} (3.2.2) & {с^{я}, б_{Дж}} "=" {дельта}_{Дж}^{я} \end{matrix}

$\{c^i,b_j\} = \delta^i_j\tag{3.2.2}$ Нильпотентный БРСТ-оператор равен

\begin{matrix} (3.2.4) & Вопрос "=" с^{я} К_{я} - \frac{1}{2} ф_{я Дж}^{к} с^{я} с^{Дж} б_{к} \end{matrix}

$Q = c^i K_i - \frac{1}{2}f_{ij}{}^kc^i c^j b_k \tag{3.2.4}$ Здесь все индексы суммируются.

Затем это применяется к алгебре Вирасоро без центрального заряда.

[л_{м}, л_{н}] "=" (м - н) л_{м + н}

$[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n}$ где

\begin{matrix} (3.1.58) & л_{м} "=" л_{м}^{(α)} + л_{м}^{(с)} - а {дельта}_{м} \end{matrix}

$L_m = L^{(\alpha)}_m + L^{(c)}_m - a\delta_m \tag{3.1.58}$ Вклад призрака

\begin{matrix} (3.1.49) & л_{м}^{(с)} "=" \sum_{н "=" - \infty}^{\infty} (м - н) б_{м + н} с_{- н} \end{matrix}

$L^{(c)}_m = \sum_{n=-\infty}^\infty(m-n)b_{m+n}c_{-n} \tag{3.1.49}$ По книге оператор БРСТ это

\begin{aligned} (3.2.11) & Вопрос & "=" \sum_{- \infty}^{\infty} л_{- м}^{(α)} с_{м} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (м - н) : с_{- м} с_{- н} б_{м + н} : - а с_{0} \\ (3.2.12) & "=" \sum_{- \infty}^{\infty} : (л_{- м}^{(α)} + \frac{1}{2} л_{- м}^{(с)} - а {дельта}_{м}) с_{м} : \end{aligned}

$\begin{align*} Q &= \sum_{-\infty}^\infty L^{(\alpha)}_{-m}c_m - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^\infty (m-n):c_{-m} c_{-n} b_{m+n} : -ac_0 \tag{3.2.11}\\ &= \sum_{-\infty}^\infty :(L^{(\alpha)}_{-m} + \frac{1}{2}L^{(c)}_{-m} - a\delta_m)c_m: \tag{3.2.12} \end{align*}$

Кажется, что антипризраки $b_i$ есть сейчас $b_m$ , и призраки $c^i$ есть сейчас $c_{-m}$ , так что

\begin{matrix} (3.1.44) & {с_{м}, б_{н}} "=" {дельта}_{м + н} . \end{matrix}

$\{c_m,b_n\}=\delta_{m+n}\tag{3.1.44}.$ Ненулевые структурные константы

f_{m n}^{(m + n)} = (m - n)

$f_{mn}^{(m+n)} = (m-n)$ .

Мой вопрос : как получается нормальный упорядоченный призрачный термин? Я думаю, что призрачный вклад в оператор Вирасоро должен быть нормально упорядоченным, так как неоднозначность порядка адсорбируется в $a$ . Итак, следующее уравнение $(3.2.4)$ ,

\begin{aligned} Вопрос & "=" \sum_{- \infty}^{\infty} с_{- м} л_{м} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (м - н) с_{- м} с_{- н} б_{м + н} \\ "=" \sum_{- \infty}^{\infty} л_{- м}^{(α)} с_{м} + \sum_{- \infty}^{\infty} с_{- м} л_{м}^{(с)} - а с_{0} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (м - н) с_{- м} с_{- н} б_{м + н} \end{aligned}

$\begin{align} Q &= \sum_{-\infty}^\infty c_{-m}L_m - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} (m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} \\ &= \sum_{-\infty}^\infty L^{(\alpha)}_{-m} c_{m} + \sum_{-\infty}^\infty c_{-m}L^{(c)}_m - ac_0 - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} (m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} \end{align}$

Вставка $L^{(c)}_m$ , Кажется, что

\begin{aligned} \sum_{- \infty}^{\infty} (м - н) с_{- м} : б_{м + н} с_{- н} : - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (м - н) с_{- м} с_{- н} б_{м + н} & "=" - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (м - н) : с_{- м} с_{- н} б_{м + н} : \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{-\infty}^\infty (m-n) c_{-m}:b_{m+n}c_{-n}: - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty}(m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} &= -\frac{1}{2}\sum_{-\infty}^\infty (m-n) : c_{-m}c_{-n}b_{m+n}: \end{align}$

Я не уверен, как их связать. Кажется, что попытка объединить два термина даст $-3/2$ поскольку операторы антикоммутативны, а также сумма дивергенций. Возможно уравнение $(3.1.49)$ выключен по какому-то фактору? Над этим уравнением написано, что $L_m = \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi} d\sigma e^{im\sigma} T_{++}$ , и вычисляя это, я получаю $i$ уравнение умножения $(3.1.49)$ .

Любая помощь приветствуется, спасибо.

Ответы (1)

Квантование BRST (Грин, Шварц, Виттен)

Qмеханик · Answer 1

Что ж, струнный БРСТ-оператор (3.2.11-12) с бесконечномерной алгеброй Ли не может быть адаптирован из БРСТ-оператора (3.2.4) для конечномерных алгебр Ли в его нынешнем виде, главным образом потому, что второй член в последней не использует нормальный порядок . Проблема довольно серьезная, поскольку разница между вторым слагаемым $\begin{matrix} (1) & {Вопрос}_{2} "=" - \frac{1}{2} \sum_{н, м е Z} (м - н) с_{- м} с_{- н} б_{м + н} \end{matrix}$ $\tag{1} Q_2~=~-\frac{1}{2}\sum_{n,m\in\mathbb{Z}} (m-n) c_{-m}c_{-n}b_{m+n}$ без нормального порядка и соответствующий второй член с нормальным порядком бесконечен:

\begin{matrix} (2) & {Вопрос}_{2} - : {Вопрос}_{2} : "=" с_{0} \sum_{н е Z} н с_{- н} б_{н} - : с_{0} \sum_{н е Z} н с_{- н} б_{н} : "=" \infty с_{0} . \end{matrix}

$\tag{2} Q_2~-~:Q_2:~=~c_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}} n c_{-n} b_n ~-~ :c_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}} n c_{-n} b_n: ~=~ \infty~c_0.$

Вместо этого самый мощный метод состоит в том, чтобы сформулировать BRST-симметрию с помощью OPE , радиального упорядочения. ${\cal R}$ , и теорема Вика между радиальным и нормальным порядком. См., например , этот и этот посты Phys.SE и ссылки в них. Оператор заряда BRST $\begin{matrix} (3) & Вопрос "=" \oint \frac{д г}{2 π я} {Дж}_{Б р С Т} (г), \end{matrix}$ $\tag{3} Q~=~\oint \frac{dz}{2\pi i}~ j_{\rm BRST}(z),$ где текущий оператор BRST $\begin{matrix} (4) & {Дж}_{Б р С Т} (г) "=" с (г) Т^{(Икс)} (г) + \frac{1}{2} : б (г) с (г) \partial с (г) : + \frac{3}{2} \partial^{2} с (г) \end{matrix}$ $\tag{4} j_{\rm BRST}(z)~=~ c(z)T^{(X)}(z) + \frac{1}{2} :b(z)c(z)\partial c(z): + \frac{3}{2} \partial^2 c(z)$ является первичным полем конформного веса $h=1$ , что удовлетворяет OPE $\begin{matrix} (5) & р {Дж}_{Б р С Т} (г) {Дж}_{Б р С Т} (ж) "=" - \frac{с^{(Икс)} - 18}{2 (г - ж)^{3}} с (ж) \partial с (ж) - \frac{с^{(Икс)} - 18}{4 (г - ж)^{2}} с (ж) \partial^{2} с (ж) - \frac{с^{(Икс)} - 26}{12 (г - ж)} с (ж) \partial^{3} с (ж) + неединственные термины . \end{matrix}$ ${\cal R}~ j_{\rm BRST}(z)~j_{\rm BRST}(w) ~=~ -\frac{c^{(X)}-18}{2(z-w)^3}c(w)\partial c(w)- \frac{c^{(X)}-18}{4(z-w)^2}c(w)\partial^2 c(w) - \frac{c^{(X)}-26}{12(z-w)}c(w)\partial^3 c(w) +\text{non-singular terms}.\tag{5}$ Здесь $\begin{matrix} (6) & с (г) "=" \sum_{н е Z} с_{н} г^{- н + 1}, б (г) "=" \sum_{н е Z} б_{н} г^{- н - 2} . \end{matrix}$ $\tag{6} c(z)~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n z^{-n+1}, \qquad b(z)~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} b_n z^{-n-2}.$ Оператор заряда BRST $Q$ классно нильпотентный $Q^2=0$ если дело в центральном заряде $c^{(X)}=26$ двадцать шесть .

Использованная литература:

М. Б. Грин, Дж. Х. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн, Vol. 1, 1986; Разделы 3.1 и 3.2.
Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 1, 1998; Раздел 4.3.

3. Блюменхаген Р., Ласт Д., Тайзен С. Основные понятия теории струн, 2013; Раздел 5.2.

Квантование BRST (Грин, Шварц, Виттен)

Хаз

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

БРСТ-квантование точечной частицы: знак структурных функций (Полчински)

Вопрос о БРСТ-токе в теории бозонных струн

Как мне показать существование сохраняющегося числа-призрака с BRST в теории бозонных струн?

Что такое призрачный номер?

Вик-порядок и радиальный порядок в CFT

Нормальный порядок в свободном бозонном вершинном операторе

БРСТ-квантование бозонной струны: нильпотентность БРСТ-преобразования (Полчински)

Вирасоро TT OPE (2.2.11) в книге Полчински

BRST-квантование открытой струны на уровне N=1N=1N=1

Вопрос о поверхностном члене призрачных полей