Возможная ошибка в классической динамике частиц и систем Мэрион и Торнтона

Question

Возможная ошибка в классической динамике частиц и систем Мэрион и Торнтона

Элвис

поэтому я просматривал свои заметки по классической механике и только что начал просматривать матрицы вращения, что является первой темой, с которой начинается книга. На странице 3

Матрица вращения, связанная с 1.2a и 1.2b, имеет вид

(\begin{matrix} потому что θ & грех θ \\ - грех θ & потому что θ \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}$

но когда я пытаюсь вывести матрицу, следуя единичным векторам $\hat i$ и $\hat j$

я получил

(\begin{matrix} потому что θ & - грех θ \\ грех θ & потому что θ \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}$

То, что выведено в книге, будет вращением по часовой стрелке, а то, что я получил, будет вращением против часовой стрелки, верно?

Фробениус

Есть две точки зрения: Точка

P

$\: \mathrm P\:$ вращается по часовой стрелке, а система координат остается фиксированной, или система координат поворачивается против часовой стрелки, а точка

P

$\: \mathrm P\:$ остается фиксированным.

Элвис

Да я только что понял это. Я думаю, что книга делает поворот системы координат против часовой стрелки, но затем измеряет длину в новой системе координат. Это означает, что они фактически изменили базис, в то время как матрица, которую я вычислял, была в старом базисе. Правильно ли думать об этом таким образом?

Фробениус

Да, точно.

Фробениус

В двух измерениях вы могли бы решить свои проблемы с комплексными числами. Предположим, вы хотите повернуть точку

P : z = x + i y

$\:\mathrm P : z=x+iy\:$ под углом

θ

$\:\theta\:$ на новую должность

P^{'} : z^{'} = x^{'} + i y^{'}

$\: \mathrm P' : z'=x'+iy'\:$ . Не беспокойтесь, если по часовой стрелке или против часовой стрелки знак

θ

$\:\theta\:$ заботится об этом.

\begin{aligned} (01) & г^{'} "=" е^{я θ} г ⟹ {Икс}^{'} + я у^{'} & "=" (потому что θ + я грех θ) (Икс + я у) \\ "=" (Икс потому что θ - у грех θ) + я (Икс грех θ + у потому что θ) \end{aligned}

$\begin{align} z'=e^{i\theta}z\: \Longrightarrow \:x'+iy' & =\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\left(x+iy\right) \tag{01}\\ &=\left(x\cos\theta-y\sin\theta \right)+i\left(x\sin\theta+y\cos\theta \right) \nonumber \end{align}$

Фробениус

...так

\begin{matrix} (02) & [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ у^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} потому что θ & - грех θ \\ грех θ & потому что θ \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \hphantom{-}\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \tag{02} \end{equation}$

Фробениус

Матрица в (02) является поворотной. Но если посмотреть с другой точки зрения, то это матрица преобразования координат при повороте системы координат на угол

ϕ = - θ

$\:\phi=-\theta\:$ придерживаясь точки зрения

P

$\:\mathrm P\:$ зафиксированный

\begin{matrix} (03) & [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ у^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} потому что ф & грех ф \\ - грех ф & потому что ф \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cos\phi & \sin\phi\:\\ -\sin\phi & \cos\phi\: \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \tag{03} \end{equation}$

Элвис

Большое спасибо. Это многое прояснило для меня.

Джон Дарби

Вы можете повернуть систему координат или вектор. Эти два варианта называются пассивным и активным вращением соответственно. См. Википедию и Гольдштейна, Классическую механику.

Ответы (1)

Возможная ошибка в классической динамике частиц и систем Мэрион и Торнтона

Есть две точки зрения: Точка $\: \mathrm P\:$ вращается по часовой стрелке, а система координат остается фиксированной, или система координат поворачивается против часовой стрелки, а точка $\: \mathrm P\:$ остается фиксированным.
Да я только что понял это. Я думаю, что книга делает поворот системы координат против часовой стрелки, но затем измеряет длину в новой системе координат. Это означает, что они фактически изменили базис, в то время как матрица, которую я вычислял, была в старом базисе. Правильно ли думать об этом таким образом?
В двух измерениях вы могли бы решить свои проблемы с комплексными числами. Предположим, вы хотите повернуть точку $\:\mathrm P : z=x+iy\:$ под углом $\:\theta\:$ на новую должность $\: \mathrm P' : z'=x'+iy'\:$ . Не беспокойтесь, если по часовой стрелке или против часовой стрелки знак $\:\theta\:$ заботится об этом. $\begin{aligned} (01) & г^{'} "=" е^{я θ} г ⟹ {Икс}^{'} + я у^{'} & "=" (потому что θ + я грех θ) (Икс + я у) \\ "=" (Икс потому что θ - у грех θ) + я (Икс грех θ + у потому что θ) \end{aligned}$ $\begin{align} z'=e^{i\theta}z\: \Longrightarrow \:x'+iy' & =\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\left(x+iy\right) \tag{01}\\ &=\left(x\cos\theta-y\sin\theta \right)+i\left(x\sin\theta+y\cos\theta \right) \nonumber \end{align}$
...так $\begin{matrix} (02) & [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ у^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} потому что θ & - грех θ \\ грех θ & потому что θ \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}] \end{matrix}$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \hphantom{-}\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \tag{02} \end{equation}$
Матрица в (02) является поворотной. Но если посмотреть с другой точки зрения, то это матрица преобразования координат при повороте системы координат на угол $\:\phi=-\theta\:$ придерживаясь точки зрения $\:\mathrm P\:$ зафиксированный $\begin{matrix} (03) & [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ у^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} потому что ф & грех ф \\ - грех ф & потому что ф \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}] \end{matrix}$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\cos\phi & \sin\phi\:\\ -\sin\phi & \cos\phi\: \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \tag{03} \end{equation}$
Большое спасибо. Это многое прояснило для меня.
Вы можете повернуть систему координат или вектор. Эти два варианта называются пассивным и активным вращением соответственно. См. Википедию и Гольдштейна, Классическую механику.

Альберто Наварро · Answer 1

Вы можете построить матрицу вращения, найдя направляющие косинусы, определенные как $\lambda_{i,j}=\cos(x'_{i},x_{j})$ так:

$\lambda_{11}=\cos(x'_{1},x_{1})=\cos\theta$

$\lambda_{12}=\cos(x'_{1},x_{2})=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$

$\lambda_{21}=\cos(x'_{2},x_{1})=\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$

$\lambda_{22}=\cos(x'_{2},x_{2})=\cos\theta$

Книга правильная.

Извините, но ваш пост ничего не объясняет. Меня беспокоит то, что в книге представлена матрица вращения, которая, кажется, представляет вращение по часовой стрелке, в то время как они иллюстрируют вращение против часовой стрелки; это неправильно?
О, проблема, которую книга представляет собой поворот от $(x'_{1},x'_{2})$ система для $(x_{1},x_{2})$ система.
Обратите внимание, что ваша матрица вращения, обратная матрице книги, представляет собой вращение от $(x_{1},x_{2})$ к $(x'_{1},x'_{2})$ , может быть, это ваша путаница.
Правильно, я иду от $(x_{1}, x_{2})$ к $(x'_{1}, x'_{2})$ так что не должно ли это преобразование быть $\begin{pmatrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{pmatrix}$ ?
Делать то, что делает книга, не было бы $\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ \end{pmatrix}$ ?

Возможная ошибка в классической динамике частиц и систем Мэрион и Торнтона

Элвис

Фробениус

Элвис

Фробениус

Фробениус

Фробениус

Фробениус

Элвис

Джон Дарби

Ответы (1)

Альберто Наварро

Элвис

Альберто Наварро

Альберто Наварро

Элвис

Элвис

Вращение на угол Эйлера - активный/пассивный

Почему мы используем векторы?

Как рассчитать углы крена, рыскания и тангажа по трехмерным координатам (углы Эйлера)

Пассивное преобразование, псевдовекторы и векторное произведение

Понимание определения касательной базы

Почему 24 часа (угол) эквивалентны 360°?

Почему базисные векторы могут менять направление?

Угол Эйлера: оси, фиксированные в пространстве, и оси, фиксированные телом

Центробежная сила и полярные координаты

Простой способ вычисления углов Эйлера из матрицы вращения --- помогите!