Почему мы используем векторы?

Вы можете сделать это таким образом, но... чем это отличается от векторов? Если подумать, то все равно.

Я понимаю вас, формализм сложен. Зачем столько сложностей? Ну, несмотря на некоторые методы, я продолжаю думать, что все должны начать разделять компоненты.

$x=5m; y=2m$.

Так намного легче работать.

Например, когда вы бросаете предмет,$x$-ось - равномерное прямолинейное движение

Так действительно проще, согласен. Я также поддерживаю этот метод, потому что тогда речь идет о том, чтобы собрать их вместе. Вы вычисляете все такие вещи, а затем, если вопрос просит вас представить их в виде векторов, вам просто нужно «сложить их вместе», и это не требует особых усилий:

Итак, первый момент заключается в том, что

Вы уже используете их, хотя на самом деле не замечаете.

На самом деле иногда вам нужно вычислить расстояние от начала координат, и это$\sqrt{x^2+y^2}$. Фактически модуль вектора.

Но есть и другие причины: векторы действительно полезны для

• Выполняйте вычисления (например, суммируйте расстояния и скорости). И мы очень хорошо знаем их свойства.
• Работа в разных кадрах.

И позвольте мне объяснить этот последний пункт. Если вы скажете$x=5m$, привязанный к выбранной вами системе отсчета. ЕСЛИ вы хотите переключиться на другую систему отсчета, вам придется все пересчитывать. Это утомительно.

Тем не менее, векторы являются мощным инструментом для этого. Вы можете использовать матрицу для преобразования ВСЕХ векторов. Таким образом, вам нужно рассчитать только одну матрицу, и она будет работать для преобразования всех положений, всех скоростей и всех ускорений с помощью одного простого вычисления.

Это также работает для сил, полей и так далее.

Так что да, векторы действительно полезны:

• Они появляются естественно. В 1 измерении можно работать с числами. Но как только вы перейдете к 2 измерениям, лучший способ найти точки — это использовать координаты на плоскости.$P=(x,y)$. Но это абсолютно связано с вектором$\vec{r}=(x,y)$. Поэтому они появляются естественным образом. Декартова система отсчета предлагает нам сделать это. Есть небольшой шаг от точек к векторам.
• Они позволяют легко визуализировать: как сложить количества, даже если они перпендикулярны. Расчет модулей и направлений...
• Они легко трансформируются при переходе в другую систему отсчета.

Я как-то читал статью, в которой говорилось, что всю механику можно было бы сформулировать в терминах кватернионов, а не векторов... но эти векторы просто тускнеют !

Он также показал, как эллиптическая орбита тела при гравитационном притяжении к точке формулируется в терминах кватернионов. Великолепный кусок математики, это было !

Другие люди уже дали несколько отличных ответов, но я просто хотел дать еще одну действительно вескую причину для использования векторов: точечные и перекрестные произведения:

Позвольте мне задать этот вопрос: как мне рассчитать угловой момент частицы, движущейся с импульсом, перпендикулярным ее радиальному вектору?

Не векторное изображение:

Векторное изображение:

Мало того, что о векторном изображении намного легче думать, оно также является источником уравнений, которые я написал в невекторном изображении. Кроме того, векторную модель изображения гораздо проще адаптировать к изменениям начальных условий. Например, если бы я сказал, что импульс больше не перпендикулярен движению, а$45^o$для него для векторного изображения потребуется только небольшая корректировка угла, тогда как для невекторного изображения потребуется полный пересчет.

Надеюсь, это поможет!

Когда вы говорите « 5 метров по оси X », то сначала необходимо определить две вещи:

• В каком направлении указывает ось х и
• как долго одна единица находится на этой оси.

Если вы этого не знаете, ваше утверждение бессмысленно.

И знание этих двух вещей равносильно знанию базисного вектора. $\vec i$. Базисный вектор — это математическая версия этих двух вещей, записанная как одно целое.

Векторы, как и другие математические конструкции, облегчают жизнь. Вектор — это конечный список чисел (называемых компонентами или элементами), которые сгруппированы вместе, и их расположение в списке важно.

Их сила исходит из того факта, что они имеют определенное поведение , а это означает, что все, что может быть представлено вектором, также имеет такое же поведение. Это как «знаки отличия», которые говорят студентам, читающим учебники, а также ученым и инженерам, работающим с векторами, о том, как ведут себя эти вещи.

Линейная алгебра

Например: давайте исследуем поведение векторов под эгидой линейности . Ниже приведены некоторые основные правила для всех векторов:

1. Вы добавляете два вектора вместе, добавляя каждый компонент в одно и то же место в списке вместе. Таким образом, 1-й компонент двух векторов суммируется, чтобы получить 1-й компонент результирующего вектора.

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{c} & = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \\ \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n} & = \pmatrix{a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n} \end{aligned}$$ В результате все векторы обладают следующими свойствами:
   • сложение векторов коммутативно:$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}$
   • сложение векторов ассоциативно:$\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}$

2. Вы умножаете любое скалярное значение на вектор, умножая каждый компонент на одно и то же значение.

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{c} & = \lambda \boldsymbol{a} \\ \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n} & = \pmatrix{\lambda\, a_1 \\ \lambda\, a_2 \\ \vdots \\ \lambda\, a_n} \end{aligned}$$

   В результате все векторы обладают следующими свойствами:

   • векторы обладают распределительным свойством (по отношению к скалярным значениям):$\lambda (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = \lambda\,\boldsymbol{a}+ \lambda\,\boldsymbol{b}$
   • вы можете построить векторы из линейной комбинации других векторов:$\boldsymbol{c} = 3\, \boldsymbol{a} - 2\, \boldsymbol{b} + \ldots$

3. Каждый вектор имеет величину , которая определяется квадратным корнем суммы квадратов каждого компонента.

   $$\| \boldsymbol{a} \| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n a_i^2}$$

Практический пример

Объект движется с постоянной скоростью$\boldsymbol{v}=\pmatrix{37 \\ -5.2 \\ -22.4}$каково его смещение после$t=7$секунды.

• Вектор смещения рассчитывается по уравнению$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{v}\,t$.

  $$\pmatrix{x \\ y \\ z} =7\,\pmatrix{37 \\ -5.2 \\ -22.4} = \pmatrix{259 \\ -36.4 \\ -156.8}$$

• Водоизмещение$d$- величина вектора смещения$d = \| \boldsymbol{r} \|$

  $$d = \sqrt{ 259^2 +(-36.4)^2 + (-156.8)^2 } = \sqrt{92992.2} = 304.94622$$

Итак, чему мы научились. Что, хотя результаты одинаково вычислимы при работе с компонентами и с векторами, писать намного проще.$d = \| \boldsymbol{v}\,t \|$что выражения this расширяются.

Также все мы понимаем, что расстояние, если объект двигался с$3 \boldsymbol{v}$будет в три раза больше из-за описанных выше свойств линейности. С другой стороны, если мы определяем скорость по компонентам, не очевидно, какова связь с исходной скоростью.

Наконец, учитывая векторное уравнение вида$\boldsymbol{r} = \frac{1}{2} \boldsymbol{a} t^2$или$\boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a}$или$v = \| \boldsymbol{v} \|$мы все понимаем, каковы свойства этих отношений. Удвойте массу$m$и вектор силы$\boldsymbol{F}$также удваивается, или величина силы комбинации двух сил должна быть$F = \| \boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 \|$. Нам не нужно доказывать приведенное выше поведение каждый раз, когда мы его используем, потому что мы уже однажды доказали свойства линейной алгебры, и этого достаточно.

Заключительное замечание Я сделал все вышеперечисленное без единого упоминания о том, какую систему координат я использую или что означает каждый компонент (например, x , y , z ). Пока я не противоречу своим компонентам вектора (общей системе координат), я могу выполнять все действия, которые позволяет мне линейная алгебра, и я знаю, что результаты верны. Только когда вы хотите интерпретировать результаты, вы думаете о таких вещах, как, о, 2-й компонент находится в направлении «вверх» или о любом другом соглашении, которое вы используете.