Замена ∂µ→Dµ≡∂µ+ieAµ∂µ→Dµ≡∂µ+ieAµ\partial_\mu \ на D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu позволяет ввести электромагнитные взаимодействия [дубликат]

То, что у вас есть, является хорошим началом. Если мы сделаем обычные присваивания, которые${\partial\over{\partial t}} \to -iE$и$\nabla \to i{\bf p}$тогда мы получаем

$$(E - e\Phi)\psi = (\alpha \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) + m\beta)\psi.$$ Теперь выберите конкретное представление $$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\text{ }\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ \sigma^i & 0\end{pmatrix}.$$ Легко проверить, что они дают правильные антикоммутационные соотношения. Тогда, если мы обозначим $$\psi = \begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix}$$ и подставляем это в уравнение Дирака, получаем $$(E - e\Phi)\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} = \sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix} \chi \\ -\varphi\end{pmatrix}.$$ Если мы заметим, что нерелятивистская энергия $E'$связано с релятивистским соотношением $E' = E - m$тогда уравнение становится $$E'\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} = \sigma \cdot ({\bf p} - E{\bf A})\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi\end{pmatrix} + e\Phi\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} - 2m\begin{pmatrix} 0 \\ \varphi\end{pmatrix}.$$ В нерелятивистском пределе $E'\ll m$поэтому вторую часть приведенного выше уравнения можно записать $$\varphi = {{\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\chi}\over{2m}}.$$ Затем мы можем записать первую компоненту в виде уравнения второго порядка: $$E'\chi = \bigg\{{1\over{2m}}\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) \sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) + e\Phi\bigg\}\chi.$$ С $\sigma^i\sigma^j = \delta^{ij} + i\epsilon^{ijk}\sigma^k$у нас есть $(\sigma \cdot {\bf a})(\sigma \cdot {\bf a}) = {\bf a} \cdot {\bf b} + i\sigma \cdot ({\bf a} \times {\bf b})$. Так, $$\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) = ({\bf p} - \epsilon{\bf A})^2 + i\epsilon^{ijk}\sigma^k(-i\partial_i-eA_i)(-i\partial_j - eA_j)$$ $$=({\bf p} - e{\bf A})^2 + i\epsilon^{ijk}\sigma^k(ie\partial_iA_j + ieA_i\partial_j)$$ $$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\epsilon^{ijk}\sigma^k((\partial_iA_j) + A_j\partial_i + A_i\partial_j)$$ $$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\epsilon^{ijk}\sigma^k(\partial_iA_j)$$ $$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\sigma \cdot (\nabla \times{\bf A})$$ $$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\sigma \cdot {\bf B}.$$ мы получаем это $$E'\chi = \bigg\{{{({\bf p} - e{\bf A})^2}\over{2m}} - {{e\sigma \cdot {\bf B}}\over{2m}} + e\Phi\bigg\}\chi.$$