Векторный потенциал AAA на двумерной сфере S2S2S^2 радиуса RRR с удаленными точками

Этот векторный потенциал можно записать в каждой точке плоскости, кроме начала координат, как:

$$A_x = -\frac{\partial \psi}{\partial y}$$

$$A_y = \frac{\partial \psi}{\partial x}$$

с

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}(x^2+y^2)$$

$A$не точно, потому что$\psi$сингулярна в начале координат. Но это означает, что магнитное поле равно нулю во всех точках, кроме начала координат. В самом начале координат магнитное поле должно быть бесконечным, так как поток через любую маленькую петлю не равен нулю:

$$\Phi = \int A = \int_0^{2\pi} d\phi = 2 \pi$$

Такое магнитное поле может быть создано бесконечным соленоидом, радиус которого уменьшен до нуля при сохранении постоянного потока.

В гидродинамической терминологии функция$\psi$называется функцией тока, она удовлетворяет уравнению Лапласа (гармоническая функция), за исключением начала координат. Эта конкретная функция потока описывает вихрь (векторный потенциал описывает поле скоростей вихря). Линии тока этого поля скорости представляют собой окружности вокруг начала координат, а его величина обратно пропорциональна радиусу.

Чтобы увидеть, что функция тока гармонична, за исключением сингулярности, и обобщить конструкцию на случай сферы, мы можем использовать комплексные координаты на плоскости:

$$z = x+iy$$

В этом представлении имеем:

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}(\bar{z}z)$$

Применяя оператор Лапласа, получаем

$$\nabla^2 \psi=\partial_{\bar{z}} \partial_z \psi = \delta^2_L(z)$$

Где мы использовали

$$\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\frac{1}{z} = \delta^{(2)}_L(z)$$

- комплексная координата на плоскости.$\delta^{(2)}_L$— двумерная дельта-функция Дирака относительно меры Лебега. т.е.,

$$\int_{\mathbb{C}} f(z) \delta^{(2)}_L(z-z_0) \mathrm{dRe}(z) \mathrm{dIm}(z) = f(z_0)$$

Векторный потенциал в комплексном представлении имеет вид:

$$A_z = \frac{1}{i}\frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}$$

$$A_{\bar{z}}= -\frac{1}{i}\frac{\partial \psi}{\partial z}$$

Явно:

$$A = \frac{1}{2i}\frac{zd\bar{z}-\bar{z}dz}{\bar{z}z}$$

Этот факт описывает другую физическую интерпретацию этого векторного потенциала следующим образом:

В двух измерениях функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа (гармоническая функция) (за исключением точечных особенностей), квалифицируется как функция тока, антисимметричный градиент которой (который в нашей задаче является векторным потенциалом) описывает поле скоростей вихря. Обратите внимание, что это поле скоростей инвариантно относительно вращения вокруг начала координат, а его величина обратно пропорциональна расстоянию от начала координат. В этой интерпретации линейный интеграл векторного потенциала представляет собой завихренность.

Мы можем изменить положение сингулярности (линии потока) на любую другую точку на плоскости, скажем$(x_0, y_0)$

$$A = \frac{(x-x_0)dy - (y-y_0)dx}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \frac{1}{2i}\frac{(z-z_0)d\bar{z}-(\bar{z}- \bar{z_0})dz}{(\bar{z}- \bar{z_0})(z-z_0)}$$

В этом случае нетрудно проверить, что этот векторный потенциал может быть получен из функции тока:

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}((\bar{z}-\bar{z}_0)(z-z_0)) \equiv \mathrm{log}(|z-z_0|)$$

Мы можем добавить несколько функций тока с центрами в разных точках плоскости с разной завихренностью, чтобы получить общее решение, представляющее потоки в этих точках:

$$\psi = \sum_k \Gamma_k \mathrm{log}(|z-z_k|)$$

Постоянная$\Gamma_k$выражает потоки вокруг$k$-й центр (или завихренность в гидродинамической терминологии).

Легко проверить, что одноцентровый векторный потенциал (а также соответствующая функция тока) являются инвариантами относительно метрики, сохраняющей автоморфизмы плоскости, состоящие из переносов и вращений: (что можно компактно записать в комплексных обозначениях как:)

$$z \rightarrow e^{i\alpha} z + v$$

$$z_0 \rightarrow e^{i\alpha} z_0 + v$$

Из выражения функции одноцентрового потока видно, что знаменатель - это геодезическое расстояние на плоскости, таким образом, возможное обобщение на сферу ($S^2$) будет заменой этого геодезическим расстоянием на сфере:

$$|z-z_0|^2 \rightarrow \frac{|z-z_0|^2}{(1+\bar{z}z)(1+\bar{z}_0z_0)}$$

Где$z$- координата стереографической проекции на сфере:

$$z = \mathrm{tan}{\frac{\theta}{2}}e^{i \phi}$$

($\theta$и$\phi$– координаты сферической поверхности).

Таким образом, решение-кандидат на сфере:

$$\psi= \mathrm{log}(|z-z_0| - \frac{1}{2} \mathrm{log} (1+\bar{z}z)- \frac{1}{2} \mathrm{log} (1+\bar{z}_0z_0) )$$

Это решение инвариантно относительно метрики, сохраняющей автоморфизмы сферы:

$$z\rightarrow \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z +\bar{\alpha} }$$ ,

с$|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$

Матрица:

$$\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar{\beta}&\bar{\alpha}& \end{pmatrix} \in SU(2)$$

которая является группой автоморфизмов круглой метрики

Таким образом, векторный потенциал-кандидат, соответствующий этому решению, получается путем применения оператора градиента в криволинейных координатах сферы:

$$A_z = \frac{1}{i}(1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}$$

$$A_{\bar{z}}= -\frac{1}{i}(1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial \psi}{\partial z}$$

Явно

$$A = \frac{1}{2i} (1+\bar{z}z) (1+\bar{z}_0z_0) \frac{(z-z_0)(1+\bar{z}_0 z)d\bar{z}-(\bar{z}- \bar{z_0}) (1+\bar{z}_0 z) dz}{(\bar{z}- \bar{z_0})(z-z_0)}$$

Лапласиан на сфере определяется как:

$$\nabla^2 = (1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}$$

Применяя оператор Лапласа к функции потока-кандидата, мы получаем:

$$\nabla^2 \psi= (1+\bar{z}z)^2 \delta^{(2)}_L(z-z_0) +1 = \delta^{(2)}_S(z-z_0) +1$$

Где$\delta^{(2)}_S$— дельта-функция Дирака, соответствующая сферической мере:

$$\int_{\mathbb{S^2}} f(z) \delta^{(2)}_S(z-z_0) \frac{ \mathrm{dRe}(z) \mathrm{dIm}(z) }{ (1+\bar{z}z) ^2}= f(z_0)$$

Дополнительный постоянный член в лапласиане представляет собой проблему, потому что это означает, что эта функция тока не является гармонической вне особенностей. Решение этой задачи на сфере состоит в сложении нескольких решений с нулевым полным потоком (завихренностью).

$$\sum_k \Gamma_k = 0$$

В этом случае постоянные вклады всех центров сократятся.