Зависимость высоты антирадиального горения от апогея

Математическое соотношение представляет собой уравнение орбиты

$$r={\ell^2\over m^2\gamma}{1\over1+e \cos{\theta}}$$

Разложение углового момента$\ell=mvr\sin{\alpha}$это может быть выражено как

$$r={\gamma\,{(1+e \cos{\theta})}\over v^2\sin^2{\alpha}}$$

Где будет высота апоцентра

$${\gamma\,{(1-e)}\over v^2\sin^2{\alpha}}$$

Чтобы выяснить эффекты, мы можем проанализировать, что изменяет сжигание в каждом компоненте:

• изменение угла вектора скорости$\alpha$- если космический корабль поднимается, синус угла увеличивается, если космический корабль снижается, то составляющая синуса уменьшается. Изменение будет больше, когда горение относительно велико по сравнению с орбитальной скоростью.
• изменение (увеличение) составляющей скорости$v$- так как антирадиальный ожог перпендикулярен исходному вектору скорости, то чем меньше начальная скорость, тем больше увеличение (как абсолютное, так и относительное)
• эксцентриситет$e=\sqrt{1+{2E\ell^2\over m^3\gamma^2}}$обычно будет увеличиваться при горении в антирадиальном направлении при спуске и уменьшаться при горении при подъеме, поскольку преобладает импульсный член. Если бы ни восхождение, ни спуск, эксцентриситет немного увеличился бы из-за увеличения скорости.
  • угловой момент$\ell=mvr\sin{\alpha}$обычно увеличивается, когда корабль медленно движется вблизи апоцентра или когда корабль поднимается, в противном случае уменьшается, основываясь на анализе его компонентов выше
  • орбитальная энергия$E$представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергии и будет увеличиваться по мере того, как кинетическая энергия$mv^2/2$и увеличится за счет$v$увеличивается (чем выше$v$то есть, чем больше прирост энергии), потенциальная энергия остается неизменной в момент горения
  • обратите внимание, что для эллиптических орбит$E$отрицательно, поэтому увеличивается$E$означает изменение к нулю, увеличение$\ell$уменьшает$e$
• $\gamma$постоянна для конкретного тела

Угловая составляющая будет доминирующей для ожогов, меньших орбитальной скорости, за исключением случаев, когда космический корабль движется горизонтально (функция синуса медленно изменяется около π/2).

Эмпирические результаты, похоже, подтверждают это:

• при подъеме космического корабля антирадиальный ожог понизит апоцентр (делите на больший синус угла вектора скорости)
• при снижении космического корабля антирадиальный ожог поднимет перицентр (делим на меньший синус угла вектора скорости)
• когда космический корабль летит горизонтально, антирадиальный ожог немного поднимет апоапсис из-за увеличения эксцентриситета (за счет увеличения скорости)
• первые два эффекта будут больше, когда корабль движется медленнее (выше) из-за большего изменения угла. Это хорошо видно на графике.
• Я не уверен, будет ли третья часть больше или меньше при более медленном движении, так как, с одной стороны, скорость увеличивается больше, а с другой - прирост энергии меньше при более медленном движении. Эмпирически они похожи.

(Хотя, для справки, если вас волнует высота апоцентра, наиболее эффективно сжигать прямо или ретроградно в периапсисе.)