Значение второго фокуса на эллиптических орбитах

Второй (пустой) фокус актуален в теории приливов. На эллиптической орбите линия, соединяющая планету и пустой фокус, вращается с той же частотой, что и среднее движение планеты; поэтому, если период вращения спина равен периоду обращения (планета заперта в синхронном вращении), планета вращается одной гранью, направленной в пустой фокус.

Важно отметить, что приливная выпуклость будет пытаться указать на массивный объект (оккупированный фокус), в то время как сама планета будет указывать на пустой фокус, вызывая «либрационный прилив».

Можно вычислить положение второго фокуса, зная только радиус-вектор и импульс тела. Для этого рассмотрим вектор Лапласа-Рунге- Ленца$\vec{A}$.

Если вы находитесь в «главном» фокусе (тот, что с центром притяжения), то$-\vec{A}$указывает в сторону второго фокуса. Длина этого вектора$|\vec{A}| = mke$. Поэтому положение второго фокуса определяется как :
$\vec{R}_{F2}= -2a\vec{e}= -\frac{2\vec{e}}{1-e^2}\frac{L^2}{mk}=-\frac{2L^2\vec{A}}{m^2k^2-|A|^2}$

Я использую обозначения из Википедии:
$e$- эксцентриситет и$\vec{e}$-- вектор эксцентриситета
$L = \vec{r}\times\vec{p}$-- угловой момент
$k$-- параметр, описывающий силу центральной силы$a$-- большая полуось

Наконец, заменив$A^2=m^2k^2+2mEL^2$($E$отрицательно):
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{A}}{mE}$
или же
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{p}\times\vec{L}}{mE}-\frac{k\vec{r}}{Er}$

Результат удивительно прост — это вектор LRL, деленный на массу*Энергию.

Хотя я не могу придумать для него интуитивную интерпретацию.

Ваши предположения верны. Классическое решение задачи двух тел состоит в том, что каждая масса движется по эллиптической орбите, и один фокус каждого эллипса находится в центре масс.

В частном случае, когда расстояние от центра масс до каждого тела остается постоянным, это означает, что обе орбиты являются круговыми, а окружность является частным случаем эллипса. Обратите внимание, что радиусы двух окружностей не будут равны, если объекты не имеют одинаковую массу.

Наконец, я не могу думать о физическом отношении ко второму фокусу, даже в предельном случае, когда одна из масс намного больше другой (и, следовательно, остается в покое в первом фокусе). В частности, это не точка Лагранжа.

У меня возникла краткая мысль, что если вы поместите другую большую фиксированную массу во второй фокус, вы сможете сохранить ту же эллиптическую орбиту, но на самом деле это неверно, потому что зависящая от времени орбита не симметрична между двумя фокусами (малая масса проводит больше времени вдали от большой массы), поэтому вы не можете наложить их друг на друга, чтобы получить еще одну простую эллиптическую орбиту. Решение круговой ограниченной задачи трех тел (задача трех тел Эйлера) не является эллипсом.

Так что в основном второй фокус — это просто любопытство и не имеет физического значения.